---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma rinv-positive


1. x : ℝ
2. r0 < x
3. ∃m:{1...}. (↑((λn.eval k = x n in 4 <z |k|) m))
4. a : ℕ+
5. a ≠ 1
6. 4 < |x a|
7. ∀m:ℕ+. ((a ≤ m) ⇒ (m ≤ (a * |x m|)))
8. ∀[i:ℕ+a]. (|x i| ≤ 4)
9. a * a ∈ ℕ
10. reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x)) ∈ {f:ℕ+ ⟶ ℤ| 4 * (((2 * a) * 2 * a) + 1)-regular-seq(f)} 
11. n : ℕ+
12. ∀m:ℕ+. ((n ≤ m) ⇒ (m ≤ (n * (x m))))
13. ∀m:ℕ+. ((a ≤ m) ⇒ x m ≠ 0)
14. v : {2...}
15. ∀n:ℕ+. (|x n| ≤ ((2 * n) * v))
16. m : ℕ+
17. ¬m < a
18. imax(imax(n;a);v) ≤ m
19. imax(n;a) ≤ m
20. v ≤ m
21. (n ≤ m) ∧ (a ≤ m)
22. m ≤ (n * (x m))
23. 0 < x m
24. (x m) ≤ ((2 * m) * v)
25. ((x m) * m) ≤ ((2 * m * m) * imax(imax(n;a);v))
⊢ ((x m) * m) ≤ ((imax(imax(n;a);v) * 4 * m * m) - imax(imax(n;a);v) * (4 * m * m rem x m))
BY
{ (GenConcl ⌜(4 * m * m rem x m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |x m|} ⌝⋅ THENA Auto)⋅ }

1
1. x : ℝ
2. r0 < x
3. ∃m:{1...}. (↑((λn.eval k = x n in 4 <z |k|) m))
4. a : ℕ+
5. a ≠ 1
6. 4 < |x a|
7. ∀m:ℕ+. ((a ≤ m) ⇒ (m ≤ (a * |x m|)))
8. ∀[i:ℕ+a]. (|x i| ≤ 4)
9. a * a ∈ ℕ
10. reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x)) ∈ {f:ℕ+ ⟶ ℤ| 4 * (((2 * a) * 2 * a) + 1)-regular-seq(f)} 
11. n : ℕ+
12. ∀m:ℕ+. ((n ≤ m) ⇒ (m ≤ (n * (x m))))
13. ∀m:ℕ+. ((a ≤ m) ⇒ x m ≠ 0)
14. v : {2...}
15. ∀n:ℕ+. (|x n| ≤ ((2 * n) * v))
16. m : ℕ+
17. ¬m < a
18. imax(imax(n;a);v) ≤ m
19. imax(n;a) ≤ m
20. v ≤ m
21. (n ≤ m) ∧ (a ≤ m)
22. m ≤ (n * (x m))
23. 0 < x m
24. (x m) ≤ ((2 * m) * v)
25. ((x m) * m) ≤ ((2 * m * m) * imax(imax(n;a);v))
26. r : {r:ℤ| |r| < |x m|} 
27. (4 * m * m rem x m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |x m|} 
⊢ ((x m) * m) ≤ ((imax(imax(n;a);v) * 4 * m * m) - imax(imax(n;a);v) * r)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  r0  <  x
3.  \mexists{}m:\{1...\}.  (\muparrow{}((\mlambda{}n.eval  k  =  x  n  in  4  <z  |k|)  m))
4.  a  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  a  \mneq{}  1
6.  4  <  |x  a|
7.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((a  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (m  \mleq{}  (a  *  |x  m|)))
8.  \mforall{}[i:\mBbbN{}\msupplus{}a].  (|x  i|  \mleq{}  4)
9.  a  *  a  \mmember{}  \mBbbN{}
10.  reg-seq-inv(reg-seq-adjust(a;x))  \mmember{}  \{f:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}|  4  *  (((2  *  a)  *  2  *  a)  +  1)-regular-seq(f)\} 
11.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
12.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((n  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (m  \mleq{}  (n  *  (x  m))))
13.  \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((a  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  x  m  \mneq{}  0)
14.  v  :  \{2...\}
15.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (|x  n|  \mleq{}  ((2  *  n)  *  v))
16.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
17.  \mneg{}m  <  a
18.  imax(imax(n;a);v)  \mleq{}  m
19.  imax(n;a)  \mleq{}  m
20.  v  \mleq{}  m
21.  (n  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (a  \mleq{}  m)
22.  m  \mleq{}  (n  *  (x  m))
23.  0  <  x  m
24.  (x  m)  \mleq{}  ((2  *  m)  *  v)
25.  ((x  m)  *  m)  \mleq{}  ((2  *  m  *  m)  *  imax(imax(n;a);v))
\mvdash{}  ((x  m)  *  m)  \mleq{}  ((imax(imax(n;a);v)  *  4  *  m  *  m)  -  imax(imax(n;a);v)  *  (4  *  m  *  m  rem  x  m))


By

---

Latex:
(GenConcl  \mkleeneopen{}(4  *  m  *  m  rem  x  m)  =  r\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)\mcdot{}

---

Home Index