---

Step * 1 1 1 1 2 1 1 1 1 of Lemma rnonneg-rmul


1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (x m)))
4. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (y m)))
5. n : ℕ+
6. N1 : ℕ+
7. ∀m:{N1...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(y)) * n) * (x m)))
8. N : ℕ+
9. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(x)) * n) * (y m)))
10. m : {imax(imax(N;N1);n)...}
11. (((-2) * m) * m) ≤ (n * (x m) * (y m))
12. 1 ≤ imax(N;N1)
13. 1 ≤ imax(imax(N;N1);n)
14. m ∈ ℕ+
15. r : {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
16. ((x m) * (y m) rem 2 * m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
17. n ≤ imax(imax(N;N1);n)
18. n ≤ m
⊢ (n * r) ≤ ((2 * m) * m)
BY
{ (Assert r ≤ (2 * m) BY
         (DVar `r'
          THEN (Unhide THENA Auto)
          THEN OnMaybeHyp 16 (\h. ((RWO "absval_ifthenelse" h THENA Auto)
                                   THEN RepeatFor 2 ((SplitOnHypITE h  THENA Auto))
                                   THEN Complete (Auto))))) }

1
1. x : ℝ
2. y : ℝ
3. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (x m)))
4. ∀n:ℕ+. ∃N:ℕ+. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (n * (y m)))
5. n : ℕ+
6. N1 : ℕ+
7. ∀m:{N1...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(y)) * n) * (x m)))
8. N : ℕ+
9. ∀m:{N...}. (((-2) * m) ≤ (((2 * canonical-bound(x)) * n) * (y m)))
10. m : {imax(imax(N;N1);n)...}
11. (((-2) * m) * m) ≤ (n * (x m) * (y m))
12. 1 ≤ imax(N;N1)
13. 1 ≤ imax(imax(N;N1);n)
14. m ∈ ℕ+
15. r : {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
16. ((x m) * (y m) rem 2 * m) = r ∈ {r:ℤ| |r| < |2 * m|} 
17. n ≤ imax(imax(N;N1);n)
18. n ≤ m
19. r ≤ (2 * m)
⊢ (n * r) ≤ ((2 * m) * m)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbR{}
2.  y  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (x  m)))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (y  m)))
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  N1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  \mforall{}m:\{N1...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (((2  *  canonical-bound(y))  *  n)  *  (x  m)))
8.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  \mforall{}m:\{N...\}.  (((-2)  *  m)  \mleq{}  (((2  *  canonical-bound(x))  *  n)  *  (y  m)))
10.  m  :  \{imax(imax(N;N1);n)...\}
11.  (((-2)  *  m)  *  m)  \mleq{}  (n  *  (x  m)  *  (y  m))
12.  1  \mleq{}  imax(N;N1)
13.  1  \mleq{}  imax(imax(N;N1);n)
14.  m  \mmember{}  \mBbbN{}\msupplus{}
15.  r  :  \{r:\mBbbZ{}|  |r|  <  |2  *  m|\} 
16.  ((x  m)  *  (y  m)  rem  2  *  m)  =  r
17.  n  \mleq{}  imax(imax(N;N1);n)
18.  n  \mleq{}  m
\mvdash{}  (n  *  r)  \mleq{}  ((2  *  m)  *  m)


By

---

Latex:
(Assert  r  \mleq{}  (2  *  m)  BY
              (DVar  `r'
                THEN  (Unhide  THENA  Auto)
                THEN  OnMaybeHyp  16  (\mbackslash{}h.  ((RWO  "absval\_ifthenelse"  h  THENA  Auto)
                                                                  THEN  RepeatFor  2  ((SplitOnHypITE  h    THENA  Auto))
                                                                  THEN  Complete  (Auto)))))

---

Home Index