---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma rroot-exists-part1


1. i : {2...}
2. x : {x:ℝ| (↑isEven(i)) ⇒ (r0 ≤ x)} 
3. k : ℕ+
4. p : ℤ
5. p = (x (2 * k)) ∈ ℤ
6. |x - (r(p)/r(4 * k))| ≤ (r1/r(2 * k))
7. ((r(p)/r(4 * k)) < (r(-1)/r(2 * k))) ∨ ((r1/r(2 * k)) < (r(p)/r(4 * k)))
8. (r0 ≤ (r(p)/r(4 * k))) ∨ (↑isOdd(i))
9. a : ℤ
10. b : ℕ+
11. [%11] : (0 ≤ p ⇐⇒ 0 ≤ a) ∧ (|(r(a))/b^i - (r(p)/r(4 * k))| < (r1/r(2 * k)))
⊢ (|(r(a))/b^i - x| ≤ (r1/r(k)))
∧ ((r0 < (r(a))/b) ⇒ (r0 < x))
∧ (((r(a))/b < r0) ⇒ (x < r0))
∧ ((r0 < (r(a))/b) ∨ ((r(a))/b < r0) ∨ ((r(a))/b = r0))
BY
{ (Assert |(r(a))/b^i - x| ≤ (r1/r(k)) BY
         (UseTriangleInequality [⌜(r(p)/r(4 * k))⌝]⋅ THEN RWW "radd-rdiv radd-int" 0 THEN Auto))⋅ }

1
.....aux..... 
1. i : {2...}
2. x : {x:ℝ| (↑isEven(i)) ⇒ (r0 ≤ x)} 
3. k : ℕ+
4. p : ℤ
5. p = (x (2 * k)) ∈ ℤ
6. |(r(p)/r(4 * k)) - x| ≤ (r1/r(2 * k))
7. ((r(p)/r(4 * k)) < (r(-1)/r(2 * k))) ∨ ((r1/r(2 * k)) < (r(p)/r(4 * k)))
8. (r0 ≤ (r(p)/r(4 * k))) ∨ (↑isOdd(i))
9. a : ℤ
10. b : ℕ+
11. (0 ≤ p) ⇒ (0 ≤ a)
12. (0 ≤ p) ⇐ 0 ≤ a
13. |(r(a))/b^i - (r(p)/r(4 * k))| < (r1/r(2 * k))
⊢ (|(r(a))/b^i - (r(p)/r(4 * k))| + (r1/r(2 * k))) ≤ (r1/r(k))

2
1. i : {2...}
2. x : {x:ℝ| (↑isEven(i)) ⇒ (r0 ≤ x)} 
3. k : ℕ+
4. p : ℤ
5. p = (x (2 * k)) ∈ ℤ
6. |x - (r(p)/r(4 * k))| ≤ (r1/r(2 * k))
7. ((r(p)/r(4 * k)) < (r(-1)/r(2 * k))) ∨ ((r1/r(2 * k)) < (r(p)/r(4 * k)))
8. (r0 ≤ (r(p)/r(4 * k))) ∨ (↑isOdd(i))
9. a : ℤ
10. b : ℕ+
11. [%11] : (0 ≤ p ⇐⇒ 0 ≤ a) ∧ (|(r(a))/b^i - (r(p)/r(4 * k))| < (r1/r(2 * k)))
12. |(r(a))/b^i - x| ≤ (r1/r(k))
⊢ (|(r(a))/b^i - x| ≤ (r1/r(k)))
∧ ((r0 < (r(a))/b) ⇒ (r0 < x))
∧ (((r(a))/b < r0) ⇒ (x < r0))
∧ ((r0 < (r(a))/b) ∨ ((r(a))/b < r0) ∨ ((r(a))/b = r0))

---

Latex:

---

Latex:

1.  i  :  \{2...\}
2.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (\muparrow{}isEven(i))  {}\mRightarrow{}  (r0  \mleq{}  x)\} 
3.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  p  :  \mBbbZ{}
5.  p  =  (x  (2  *  k))
6.  |x  -  (r(p)/r(4  *  k))|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
7.  ((r(p)/r(4  *  k))  <  (r(-1)/r(2  *  k)))  \mvee{}  ((r1/r(2  *  k))  <  (r(p)/r(4  *  k)))
8.  (r0  \mleq{}  (r(p)/r(4  *  k)))  \mvee{}  (\muparrow{}isOdd(i))
9.  a  :  \mBbbZ{}
10.  b  :  \mBbbN{}\msupplus{}
11.  [\%11]  :  (0  \mleq{}  p  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  0  \mleq{}  a)  \mwedge{}  (|(r(a))/b\^{}i  -  (r(p)/r(4  *  k))|  <  (r1/r(2  *  k)))
\mvdash{}  (|(r(a))/b\^{}i  -  x|  \mleq{}  (r1/r(k)))
\mwedge{}  ((r0  <  (r(a))/b)  {}\mRightarrow{}  (r0  <  x))
\mwedge{}  (((r(a))/b  <  r0)  {}\mRightarrow{}  (x  <  r0))
\mwedge{}  ((r0  <  (r(a))/b)  \mvee{}  ((r(a))/b  <  r0)  \mvee{}  ((r(a))/b  =  r0))


By

---

Latex:
(Assert  |(r(a))/b\^{}i  -  x|  \mleq{}  (r1/r(k))  BY
              (UseTriangleInequality  [\mkleeneopen{}(r(p)/r(4  *  k))\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  RWW  "radd-rdiv  radd-int"  0  THEN  Auto))\mcdot{}

---

Home Index