---

Step * 1 of Lemma rv-circle-circle-lemma3'


1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. p : {p:ℝ^2| ab=ap} 
6. q : {q:ℝ^2| cd=cq} 
7. i : {x:ℝ^2| cp=cx ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
8. o : {y:ℝ^2| aq=ay ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
9. a ≠ c
10. cp=ci ∧ (¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d)))
11. aq=ao ∧ (¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b)))
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^2| ab=ap ∧ cd=cp} . (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ (r2-left(u;c;a) ∧ r2-left(v;a;c)))
BY
{ (All (Unfold `rv-congruent`)
   THEN (Assert ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y)) BY
               ((UnivCD THENA Auto) THEN Fold `real-vec-dist` 0 THEN (Assert d(x;z) = d(z;x) BY Auto) THEN Auto))
   THEN ExRepD
   THEN Assert ⌜d(c;p) ≤ d(c;d)⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. p : {p:ℝ^2| d(a;b) = d(a;p)} 
6. q : {q:ℝ^2| d(c;d) = d(c;q)} 
7. i : {x:ℝ^2| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
8. o : {y:ℝ^2| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
9. a ≠ c
10. d(c;p) = d(c;i)
11. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
12. d(a;q) = d(a;o)
13. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
14. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
⊢ d(c;p) ≤ d(c;d)

2
1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. p : {p:ℝ^2| d(a;b) = d(a;p)} 
6. q : {q:ℝ^2| d(c;d) = d(c;q)} 
7. i : {x:ℝ^2| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
8. o : {y:ℝ^2| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
9. a ≠ c
10. d(c;p) = d(c;i)
11. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
12. d(a;q) = d(a;o)
13. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
14. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
15. d(c;p) ≤ d(c;d)
⊢ ∃u,v:{p:ℝ^2| (d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;p))} 
   (((d(a;o) < d(a;b)) ∧ (d(c;i) < d(c;d))) ⇒ (r2-left(u;c;a) ∧ r2-left(v;a;c)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}\^{}2
2.  b  :  \mBbbR{}\^{}2
3.  c  :  \mBbbR{}\^{}2
4.  d  :  \mBbbR{}\^{}2
5.  p  :  \{p:\mBbbR{}\^{}2|  ab=ap\} 
6.  q  :  \{q:\mBbbR{}\^{}2|  cd=cq\} 
7.  i  :  \{x:\mBbbR{}\^{}2|  cp=cx  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  x  \mwedge{}  x  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-x-d)))\} 
8.  o  :  \{y:\mBbbR{}\^{}2|  aq=ay  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  y  \mwedge{}  y  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-y-b)))\} 
9.  a  \mneq{}  c
10.  cp=ci  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  i  \mwedge{}  i  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-i-d)))
11.  aq=ao  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  o  \mwedge{}  o  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-o-b)))
\mvdash{}  \mexists{}u,v:\{p:\mBbbR{}\^{}2|  ab=ap  \mwedge{}  cd=cp\} 
      (((d(a;o)  <  d(a;b))  \mwedge{}  (d(c;i)  <  d(c;d)))  {}\mRightarrow{}  (r2-left(u;c;a)  \mwedge{}  r2-left(v;a;c)))


By

---

Latex:
(All  (Unfold  `rv-congruent`)
  THEN  (Assert  \mforall{}x,y,z:\mBbbR{}\^{}2.    (d(x;y)  =  d(x;z)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ||z  -  x||  =  d(x;y))  BY
                          ((UnivCD  THENA  Auto)
                            THEN  Fold  `real-vec-dist`  0
                            THEN  (Assert  d(x;z)  =  d(z;x)  BY
                                                    Auto)
                            THEN  Auto))
  THEN  ExRepD
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}d(c;p)  \mleq{}  d(c;d)\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index