---

Step * 1 1 of Lemma series-sum-linear3


1. n : ℕ+
2. x : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. c : ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k)))))})
6. k : ℕ+
7. |c| ≤ r(n)
8. N : ℕ
9. n1 : ℕ
10. N ≤ n1
11. |Σ{x[i] | 0≤i≤n1} - a| ≤ (r1/r(n * k))
⊢ |Σ{x[i] * c | 0≤i≤n1} - a * c| ≤ (r1/r(k))
BY
{ (nRMul ⌜|c|⌝ (-1)⋅
   THEN (RWO "rabs-rmul<" (-1) THENA Auto)
   THEN (RWO "rmul-distrib2" (-1) THENA Auto)
   THEN nRNorm 0
   THEN (RWO "rsum_linearity3<" (-1) THENA Auto)
   THEN (RWO "rmul_over_rminus.1" (-1) THENA Auto)
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto) }

1
1. n : ℕ+
2. x : ℕ ⟶ ℝ
3. a : ℝ
4. c : ℝ
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|Σ{x[i] | 0≤i≤n} - a| ≤ (r1/r(k)))))})
6. k : ℕ+
7. |c| ≤ r(n)
8. N : ℕ
9. n1 : ℕ
10. N ≤ n1
11. |Σ{x[i] * c | 0≤i≤n1} + -(a * c)| ≤ ((r1/r(n * k)) * |c|)
⊢ ((r1/r(n * k)) * |c|) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  a  :  \mBbbR{}
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  -  a|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  |c|  \mleq{}  r(n)
8.  N  :  \mBbbN{}
9.  n1  :  \mBbbN{}
10.  N  \mleq{}  n1
11.  |\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n1\}  -  a|  \mleq{}  (r1/r(n  *  k))
\mvdash{}  |\mSigma{}\{x[i]  *  c  |  0\mleq{}i\mleq{}n1\}  -  a  *  c|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(nRMul  \mkleeneopen{}|c|\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{}
  THEN  (RWO  "rabs-rmul<"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rmul-distrib2"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  nRNorm  0
  THEN  (RWO  "rsum\_linearity3<"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rmul\_over\_rminus.1"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index