---

Step * 1 2 of Lemma simple-partition-exists


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. icompact([a, b])
7. p : partition([a, b])
8. partition-mesh([a, b];p) ≤ e
9. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (full-partition([a, b];p)[i] ∈ [a, b])
⊢ (((λi.full-partition([a, b];p)[i]) 0) = a ∈ ℝ)
∧ (((λi.full-partition([a, b];p)[i]) (||full-partition([a, b];p)|| - 1)) = b ∈ ℝ)
∧ (∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)|| - 1
     ((((λi.full-partition([a, b];p)[i]) i) ≤ ((λi.full-partition([a, b];p)[i]) (i + 1)))
     ∧ ((((λi.full-partition([a, b];p)[i]) (i + 1)) - (λi.full-partition([a, b];p)[i]) i) ≤ e)))
BY
{ (Reduce 0 THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. icompact([a, b])
7. p : partition([a, b])
8. partition-mesh([a, b];p) ≤ e
9. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (full-partition([a, b];p)[i] ∈ [a, b])
10. full-partition([a, b];p)[0] = a ∈ ℝ
⊢ full-partition([a, b];p)[||full-partition([a, b];p)|| - 1] = b ∈ ℝ

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. icompact([a, b])
7. p : partition([a, b])
8. partition-mesh([a, b];p) ≤ e
9. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (full-partition([a, b];p)[i] ∈ [a, b])
10. full-partition([a, b];p)[0] = a ∈ ℝ
11. full-partition([a, b];p)[||full-partition([a, b];p)|| - 1] = b ∈ ℝ
12. i : ℕ||full-partition([a, b];p)|| - 1
⊢ full-partition([a, b];p)[i] ≤ full-partition([a, b];p)[i + 1]

3
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. icompact([a, b])
7. p : partition([a, b])
8. partition-mesh([a, b];p) ≤ e
9. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (full-partition([a, b];p)[i] ∈ [a, b])
10. full-partition([a, b];p)[0] = a ∈ ℝ
11. full-partition([a, b];p)[||full-partition([a, b];p)|| - 1] = b ∈ ℝ
12. i : ℕ||full-partition([a, b];p)|| - 1
13. full-partition([a, b];p)[i] ≤ full-partition([a, b];p)[i + 1]
⊢ (full-partition([a, b];p)[i + 1] - full-partition([a, b];p)[i]) ≤ e

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  e  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  e
6.  icompact([a,  b])
7.  p  :  partition([a,  b])
8.  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  e
9.  \mforall{}i:\mBbbN{}||full-partition([a,  b];p)||.  (full-partition([a,  b];p)[i]  \mmember{}  [a,  b])
\mvdash{}  (((\mlambda{}i.full-partition([a,  b];p)[i])  0)  =  a)
\mwedge{}  (((\mlambda{}i.full-partition([a,  b];p)[i])  (||full-partition([a,  b];p)||  -  1))  =  b)
\mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||full-partition([a,  b];p)||  -  1
          ((((\mlambda{}i.full-partition([a,  b];p)[i])  i)  \mleq{}  ((\mlambda{}i.full-partition([a,  b];p)[i])  (i  +  1)))
          \mwedge{}  ((((\mlambda{}i.full-partition([a,  b];p)[i])  (i  +  1))  -  (\mlambda{}i.full-partition([a,  b];p)[i])  i)  \mleq{}  e)))


By

---

Latex:
(Reduce  0  THEN  Auto)

---

Home Index