---

Step * 1 of Lemma simple-partition-exists


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. icompact([a, b])
7. p : partition([a, b])
8. partition-mesh([a, b];p) ≤ e
⊢ ∃g:ℕ(||full-partition([a, b];p)|| - 1) + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
   (((g 0) = a ∈ ℝ)
   ∧ ((g (||full-partition([a, b];p)|| - 1)) = b ∈ ℝ)
   ∧ (∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)|| - 1. (((g i) ≤ (g (i + 1))) ∧ (((g (i + 1)) - g i) ≤ e))))
BY
{ ((InstLemma `full-partition-point-member` [⌜[a, b]⌝;⌜p⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Unfold `l_all` -1
   THEN With ⌜λi.full-partition([a, b];p)[i]⌝ (D 0)⋅) }

1
.....wf..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. icompact([a, b])
7. p : partition([a, b])
8. partition-mesh([a, b];p) ≤ e
9. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (full-partition([a, b];p)[i] ∈ [a, b])
⊢ λi.full-partition([a, b];p)[i] ∈ ℕ(||full-partition([a, b];p)|| - 1) + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. icompact([a, b])
7. p : partition([a, b])
8. partition-mesh([a, b];p) ≤ e
9. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (full-partition([a, b];p)[i] ∈ [a, b])
⊢ (((λi.full-partition([a, b];p)[i]) 0) = a ∈ ℝ)
∧ (((λi.full-partition([a, b];p)[i]) (||full-partition([a, b];p)|| - 1)) = b ∈ ℝ)
∧ (∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)|| - 1
     ((((λi.full-partition([a, b];p)[i]) i) ≤ ((λi.full-partition([a, b];p)[i]) (i + 1)))
     ∧ ((((λi.full-partition([a, b];p)[i]) (i + 1)) - (λi.full-partition([a, b];p)[i]) i) ≤ e)))

3
.....wf..... 
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a ≤ b
4. e : ℝ
5. r0 < e
6. icompact([a, b])
7. p : partition([a, b])
8. partition-mesh([a, b];p) ≤ e
9. ∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)||. (full-partition([a, b];p)[i] ∈ [a, b])
10. g : ℕ(||full-partition([a, b];p)|| - 1) + 1 ⟶ {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
⊢ ((g 0) = a ∈ ℝ)
  ∧ ((g (||full-partition([a, b];p)|| - 1)) = b ∈ ℝ)
  ∧ (∀i:ℕ||full-partition([a, b];p)|| - 1. (((g i) ≤ (g (i + 1))) ∧ (((g (i + 1)) - g i) ≤ e))) ∈ ℙ

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  \mleq{}  b
4.  e  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  e
6.  icompact([a,  b])
7.  p  :  partition([a,  b])
8.  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  e
\mvdash{}  \mexists{}g:\mBbbN{}(||full-partition([a,  b];p)||  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
      (((g  0)  =  a)
      \mwedge{}  ((g  (||full-partition([a,  b];p)||  -  1))  =  b)
      \mwedge{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}||full-partition([a,  b];p)||  -  1.  (((g  i)  \mleq{}  (g  (i  +  1)))  \mwedge{}  (((g  (i  +  1))  -  g  i)  \mleq{}  e))))


By

---

Latex:
((InstLemma  `full-partition-point-member`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `l\_all`  -1
  THEN  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}i.full-partition([a,  b];p)[i]\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{})

---

Home Index