---

Step * 2 of Lemma sublevelset-closed


1. I : Interval@i
2. [f] : I ⟶ℝ
3. [c] : ℝ
4. i-closed(I)@i
5. f(x) continuous for x ∈ I@i
6. y : ℝ@i
7. x : ℕ ⟶ ℝ@i
8. lim n→∞.x[n] = y@i
9. ∀n:ℕ. ((x[n] ∈ I) ∧ (f(x[n]) ≤ c))@i
10. closed-rset(λx.(x ∈ I))
11. y ∈ I
⊢ f(y) ≤ c
BY
{ (InstLemma `rleq-limit-constant` [⌜c⌝;⌜λ2n.f(x[n])⌝]⋅ THEN Auto THEN BHyp -1  THEN Auto) }

1
1. I : Interval@i
2. f : I ⟶ℝ
3. c : ℝ
4. i-closed(I)@i
5. f(x) continuous for x ∈ I@i
6. y : ℝ@i
7. x : ℕ ⟶ ℝ@i
8. lim n→∞.x[n] = y@i
9. ∀n:ℕ. ((x[n] ∈ I) ∧ (f(x[n]) ≤ c))@i
10. closed-rset(λx.(x ∈ I))
11. y ∈ I
12. ∀[a:ℝ]. (a ≤ c) supposing ((∀n:ℕ. (f(x[n]) ≤ c)) and lim n→∞.f(x[n]) = a)
⊢ lim n→∞.f(x[n]) = f(y)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  [f]  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  [c]  :  \mBbbR{}
4.  i-closed(I)@i
5.  f(x)  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
6.  y  :  \mBbbR{}@i
7.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}@i
8.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x[n]  =  y@i
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((x[n]  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (f(x[n])  \mleq{}  c))@i
10.  closed-rset(\mlambda{}x.(x  \mmember{}  I))
11.  y  \mmember{}  I
\mvdash{}  f(y)  \mleq{}  c


By

---

Latex:
(InstLemma  `rleq-limit-constant`  [\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n.f(x[n])\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  BHyp  -1    THEN  Auto)

---

Home Index