---

Step * 2 1 of Lemma sublevelset-closed


1. I : Interval@i
2. f : I ⟶ℝ
3. c : ℝ
4. i-closed(I)@i
5. f(x) continuous for x ∈ I@i
6. y : ℝ@i
7. x : ℕ ⟶ ℝ@i
8. lim n→∞.x[n] = y@i
9. ∀n:ℕ. ((x[n] ∈ I) ∧ (f(x[n]) ≤ c))@i
10. closed-rset(λx.(x ∈ I))
11. y ∈ I
12. ∀[a:ℝ]. (a ≤ c) supposing ((∀n:ℕ. (f(x[n]) ≤ c)) and lim n→∞.f(x[n]) = a)
⊢ lim n→∞.f(x[n]) = f(y)
BY
{ (BLemma `continuous-limit` THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
3.  c  :  \mBbbR{}
4.  i-closed(I)@i
5.  f(x)  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
6.  y  :  \mBbbR{}@i
7.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}@i
8.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x[n]  =  y@i
9.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((x[n]  \mmember{}  I)  \mwedge{}  (f(x[n])  \mleq{}  c))@i
10.  closed-rset(\mlambda{}x.(x  \mmember{}  I))
11.  y  \mmember{}  I
12.  \mforall{}[a:\mBbbR{}].  (a  \mleq{}  c)  supposing  ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  (f(x[n])  \mleq{}  c))  and  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f(x[n])  =  a)
\mvdash{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f(x[n])  =  f(y)


By

---

Latex:
(BLemma  `continuous-limit`  THEN  Auto)

---

Home Index