---

Step * 1 1 1 1 1 1 1 of Lemma sup-iff-closure


1. A : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ A) ∧ ((x - e) < x@0))))
5. ∀n:ℕ+. ∃z:ℝ. ((z ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < z))
6. z : n:ℕ+ ⟶ ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((z n ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < (z n)))
8. k : ℕ+
9. n : ℕ
10. k ≤ n
11. z (n + 1) ∈ A
12. (x - (r1/r(n + 1))) < (z (n + 1))
⊢ |x - z (n + 1)| ≤ (r1/r(k))
BY
{ (RWO "rabs-of-nonneg" 0
   THEN Try (Complete (Auto))
   THEN (nRAdd ⌜(r1/r(n + 1))⌝ (-1))⋅
   THEN Auto
   THEN nRAdd ⌜z (n + 1)⌝ 0⋅
   THEN Auto) }

1
1. A : Set(ℝ)
2. x : ℝ
3. A ≤ x
4. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x@0:ℝ. ((x@0 ∈ A) ∧ ((x - e) < x@0))))
5. ∀n:ℕ+. ∃z:ℝ. ((z ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < z))
6. z : n:ℕ+ ⟶ ℝ
7. ∀n:ℕ+. ((z n ∈ A) ∧ ((x - (r1/r(n))) < (z n)))
8. k : ℕ+
9. n : ℕ
10. k ≤ n
11. z (n + 1) ∈ A
12. x < ((z (n + 1)) + (r1/r(n + 1)))
⊢ x ≤ ((z (n + 1)) + (r1/r(k)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Set(\mBbbR{})
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  A  \mleq{}  x
4.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x@0:\mBbbR{}.  ((x@0  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  e)  <  x@0))))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mexists{}z:\mBbbR{}.  ((z  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  (r1/r(n)))  <  z))
6.  z  :  n:\mBbbN{}\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((z  n  \mmember{}  A)  \mwedge{}  ((x  -  (r1/r(n)))  <  (z  n)))
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  n  :  \mBbbN{}
10.  k  \mleq{}  n
11.  z  (n  +  1)  \mmember{}  A
12.  (x  -  (r1/r(n  +  1)))  <  (z  (n  +  1))
\mvdash{}  |x  -  z  (n  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
(RWO  "rabs-of-nonneg"  0
  THEN  Try  (Complete  (Auto))
  THEN  (nRAdd  \mkleeneopen{}(r1/r(n  +  1))\mkleeneclose{}  (-1))\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}z  (n  +  1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index