---

Step * 1 2 1 2 2 1 1 of Lemma increasing-sequence-converges


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. (r(c) * v/r(c - 1)) ≤ (r1/r(M))
7. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
8. r0 < v
9. ∀d:ℕ. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
10. ∀n,m:ℕ+.  (|(x n) - x m| ≤ (r1/r(M * c^imin(n;m))))
11. lim n→∞.(r1/r(M * c^n)) = r0
⊢ cauchy(n.x n)
BY
{ (UnfoldTopAb (-1) THEN UnfoldTopAb 0 THEN ParallelLast THEN D -1) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. (r(c) * v/r(c - 1)) ≤ (r1/r(M))
7. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
8. r0 < v
9. ∀d:ℕ. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
10. ∀n,m:ℕ+.  (|(x n) - x m| ≤ (r1/r(M * c^imin(n;m))))
11. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r1/r(M * c^n)) - r0| ≤ (r1/r(k)))))})
12. k : ℕ+
13. N : ℕ
14. [%12] : ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r1/r(M * c^n)) - r0| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∃N:{ℕ| (∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r1/r(k)))))}

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((x  n)  <  (x  (n  +  1)))
3.  c  :  \{2...\}
4.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  v  :  \mBbbR{}
6.  (r(c)  *  v/r(c  -  1))  \mleq{}  (r1/r(M))
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((x  (n  +  1))  -  x  n)  \mleq{}  ((r1/r(c\^{}n))  *  v))
8.  r0  <  v
9.  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|n  -  m|  <  d  {}\mRightarrow{}  (|(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r(c)  *  v/r((c  -  1)  *  c\^{}imin(n;m)))))
10.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r1/r(M  *  c\^{}imin(n;m))))
11.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.(r1/r(M  *  c\^{}n))  =  r0
\mvdash{}  cauchy(n.x  n)


By

---

Latex:
(UnfoldTopAb  (-1)  THEN  UnfoldTopAb  0  THEN  ParallelLast  THEN  D  -1)

---

Home Index