---

Step * 1 2 1 2 2 1 1 1 of Lemma increasing-sequence-converges


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. (r(c) * v/r(c - 1)) ≤ (r1/r(M))
7. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
8. r0 < v
9. ∀d:ℕ. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
10. ∀n,m:ℕ+.  (|(x n) - x m| ≤ (r1/r(M * c^imin(n;m))))
11. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r1/r(M * c^n)) - r0| ≤ (r1/r(k)))))})
12. k : ℕ+
13. N : ℕ
14. [%12] : ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r1/r(M * c^n)) - r0| ≤ (r1/r(k))))
⊢ ∃N:{ℕ| (∀n,m:ℕ.  ((N ≤ n) ⇒ (N ≤ m) ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r1/r(k)))))}
BY
{ (D 0 With ⌜N + 1⌝  THEN Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. (r(c) * v/r(c - 1)) ≤ (r1/r(M))
7. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
8. r0 < v
9. ∀d:ℕ. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
10. ∀n,m:ℕ+.  (|(x n) - x m| ≤ (r1/r(M * c^imin(n;m))))
11. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r1/r(M * c^n)) - r0| ≤ (r1/r(k)))))})
12. k : ℕ+
13. N : ℕ
14. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r1/r(M * c^n)) - r0| ≤ (r1/r(k))))
15. n : ℕ
16. m : ℕ
17. (N + 1) ≤ n
18. (N + 1) ≤ m
⊢ |(x n) - x m| ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((x  n)  <  (x  (n  +  1)))
3.  c  :  \{2...\}
4.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  v  :  \mBbbR{}
6.  (r(c)  *  v/r(c  -  1))  \mleq{}  (r1/r(M))
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((x  (n  +  1))  -  x  n)  \mleq{}  ((r1/r(c\^{}n))  *  v))
8.  r0  <  v
9.  \mforall{}d:\mBbbN{}.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|n  -  m|  <  d  {}\mRightarrow{}  (|(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r(c)  *  v/r((c  -  1)  *  c\^{}imin(n;m)))))
10.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r1/r(M  *  c\^{}imin(n;m))))
11.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|(r1/r(M  *  c\^{}n))  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
12.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  N  :  \mBbbN{}
14.  [\%12]  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|(r1/r(M  *  c\^{}n))  -  r0|  \mleq{}  (r1/r(k))))
\mvdash{}  \mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n,m:\mBbbN{}.    ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m)  {}\mRightarrow{}  (|(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\}


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}N  +  1\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index