---

Step * 1 1 1 1 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : A:cat-ob(B) ⟶ (cat-arrow(B) (ob(F) (ob(G) A)) A)
6. ∀A,B@0:cat-ob(B). ∀g:cat-arrow(B) A B@0.
     ((cat-comp(B) (ob(F) (ob(G) A)) A B@0 (a1 A) g)
     = (cat-comp(B) (ob(F) (ob(G) A)) (ob(F) (ob(G) B@0)) B@0 (arrow(F) (ob(G) A) (ob(G) B@0) (arrow(G) A B@0 g)) 
        (a1 B@0))
     ∈ (cat-arrow(B) (ob(F) (ob(G) A)) B@0))
7. a2 : A@0:cat-ob(A) ⟶ (cat-arrow(A) A@0 (ob(G) (ob(F) A@0)))
8. ∀A@0,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A@0 B.
     ((cat-comp(A) A@0 (ob(G) (ob(F) A@0)) (ob(G) (ob(F) B)) (a2 A@0) 
       (arrow(G) (ob(F) A@0) (ob(F) B) (arrow(F) A@0 B g)))
     = (cat-comp(A) A@0 B (ob(G) (ob(F) B)) g (a2 B))
     ∈ (cat-arrow(A) A@0 (ob(G) (ob(F) B))))
9. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
10. x : cat-ob(A)
⊢ arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x))) (ob(F) x) (a1 (ob(F) x)) ∈ cat-arrow(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x)))) 
                                                                (ob(G) (ob(F) x))
BY
{ Auto }

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  A:cat-ob(B)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(B)  (ob(F)  (ob(G)  A))  A)
6.  \mforall{}A,B@0:cat-ob(B).  \mforall{}g:cat-arrow(B)  A  B@0.
          ((cat-comp(B)  (ob(F)  (ob(G)  A))  A  B@0  (a1  A)  g)
          =  (cat-comp(B)  (ob(F)  (ob(G)  A))  (ob(F)  (ob(G)  B@0))  B@0 
                (arrow(F)  (ob(G)  A)  (ob(G)  B@0)  (arrow(G)  A  B@0  g)) 
                (a1  B@0)))
7.  a2  :  A@0:cat-ob(A)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(A)  A@0  (ob(G)  (ob(F)  A@0)))
8.  \mforall{}A@0,B:cat-ob(A).  \mforall{}g:cat-arrow(A)  A@0  B.
          ((cat-comp(A)  A@0  (ob(G)  (ob(F)  A@0))  (ob(G)  (ob(F)  B))  (a2  A@0) 
              (arrow(G)  (ob(F)  A@0)  (ob(F)  B)  (arrow(F)  A@0  B  g)))
          =  (cat-comp(A)  A@0  B  (ob(G)  (ob(F)  B))  g  (a2  B)))
9.  counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1,  a2>);snd(<a1,  a2>))
10.  x  :  cat-ob(A)
\mvdash{}  arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  x)))  (ob(F)  x)  (a1  (ob(F)  x))  \mmember{}  cat-arrow(A) 
                                                                                                                                (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  x)))) 
                                                                                                                                (ob(G)  (ob(F)  x))


By

---

Latex:
Auto

---

Home Index