Step * 1 1 2 1 of Lemma adjunction-monad_wf


1. SmallCategory
2. SmallCategory
3. Functor(A;B)
4. Functor(B;A)
5. a1 A:cat-ob(B) ⟶ (cat-arrow(B) (ob(F) (ob(G) A)) A)
6. ∀A,B@0:cat-ob(B). ∀g:cat-arrow(B) B@0.
     ((cat-comp(B) (ob(F) (ob(G) A)) B@0 (a1 A) g)
     (cat-comp(B) (ob(F) (ob(G) A)) (ob(F) (ob(G) B@0)) B@0 (arrow(F) (ob(G) A) (ob(G) B@0) (arrow(G) B@0 g)) 
        (a1 B@0))
     ∈ (cat-arrow(B) (ob(F) (ob(G) A)) B@0))
7. a2 A@0:cat-ob(A) ⟶ (cat-arrow(A) A@0 (ob(G) (ob(F) A@0)))
8. ∀A@0,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A@0 B.
     ((cat-comp(A) A@0 (ob(G) (ob(F) A@0)) (ob(G) (ob(F) B)) (a2 A@0) 
       (arrow(G) (ob(F) A@0) (ob(F) B) (arrow(F) A@0 g)))
     (cat-comp(A) A@0 (ob(G) (ob(F) B)) (a2 B))
     ∈ (cat-arrow(A) A@0 (ob(G) (ob(F) B))))
9. ∀d:cat-ob(A)
     ((cat-comp(B) (ob(F) d) (ob(F) (ob(G) (ob(F) d))) (ob(F) d) (arrow(F) (ob(G) (ob(F) d)) ((snd(<a1, a2>)) d)) 
       ((fst(<a1, a2>)) (ob(F) d)))
     (cat-id(B) (ob(F) d))
     ∈ (cat-arrow(B) (ob(F) d) (ob(F) d)))
10. ∀c:cat-ob(B)
      ((cat-comp(A) (ob(G) c) (ob(G) (ob(F) (ob(G) c))) (ob(G) c) ((snd(<a1, a2>)) (ob(G) c)) 
        (arrow(G) (ob(F) (ob(G) c)) ((fst(<a1, a2>)) c)))
      (cat-id(A) (ob(G) c))
      ∈ (cat-arrow(A) (ob(G) c) (ob(G) c)))
11. A1 cat-ob(A)
12. B1 cat-ob(A)
13. cat-arrow(A) A1 B1
⊢ (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1)))) (ob(G) (ob(F) A1)) (ob(G) (ob(F) B1)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1))) (ob(F) A1) (a1 (ob(F) A1))) 
   (arrow(G) (ob(F) A1) (ob(F) B1) (arrow(F) A1 B1 g)))
(cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1)))) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) B1)))) (ob(G) (ob(F) B1)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1))) (ob(F) (ob(G) (ob(F) B1))) 
    (arrow(F) (ob(G) (ob(F) A1)) (ob(G) (ob(F) B1)) (arrow(G) (ob(F) A1) (ob(F) B1) (arrow(F) A1 B1 g)))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) B1))) (ob(F) B1) (a1 (ob(F) B1))))
∈ (cat-arrow(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) A1)))) (ob(G) (ob(F) B1)))
BY
((RWO "functor-arrow-comp<THENA Auto) THEN RWO "6<THEN Auto) }


Latex:


Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  A:cat-ob(B)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(B)  (ob(F)  (ob(G)  A))  A)
6.  \mforall{}A,B@0:cat-ob(B).  \mforall{}g:cat-arrow(B)  A  B@0.
          ((cat-comp(B)  (ob(F)  (ob(G)  A))  A  B@0  (a1  A)  g)
          =  (cat-comp(B)  (ob(F)  (ob(G)  A))  (ob(F)  (ob(G)  B@0))  B@0 
                (arrow(F)  (ob(G)  A)  (ob(G)  B@0)  (arrow(G)  A  B@0  g)) 
                (a1  B@0)))
7.  a2  :  A@0:cat-ob(A)  {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(A)  A@0  (ob(G)  (ob(F)  A@0)))
8.  \mforall{}A@0,B:cat-ob(A).  \mforall{}g:cat-arrow(A)  A@0  B.
          ((cat-comp(A)  A@0  (ob(G)  (ob(F)  A@0))  (ob(G)  (ob(F)  B))  (a2  A@0) 
              (arrow(G)  (ob(F)  A@0)  (ob(F)  B)  (arrow(F)  A@0  B  g)))
          =  (cat-comp(A)  A@0  B  (ob(G)  (ob(F)  B))  g  (a2  B)))
9.  \mforall{}d:cat-ob(A)
          ((cat-comp(B)  (ob(F)  d)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  d)))  (ob(F)  d) 
              (arrow(F)  d  (ob(G)  (ob(F)  d))  ((snd(<a1,  a2>))  d)) 
              ((fst(<a1,  a2>))  (ob(F)  d)))
          =  (cat-id(B)  (ob(F)  d)))
10.  \mforall{}c:cat-ob(B)
            ((cat-comp(A)  (ob(G)  c)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  c)))  (ob(G)  c)  ((snd(<a1,  a2>))  (ob(G)  c)) 
                (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  c))  c  ((fst(<a1,  a2>))  c)))
            =  (cat-id(A)  (ob(G)  c)))
11.  A1  :  cat-ob(A)
12.  B1  :  cat-ob(A)
13.  g  :  cat-arrow(A)  A1  B1
\mvdash{}  (cat-comp(A)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  A1))))  (ob(G)  (ob(F)  A1))  (ob(G)  (ob(F)  B1)) 
      (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  A1)))  (ob(F)  A1)  (a1  (ob(F)  A1))) 
      (arrow(G)  (ob(F)  A1)  (ob(F)  B1)  (arrow(F)  A1  B1  g)))
=  (cat-comp(A)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  A1))))  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  B1)))) 
      (ob(G)  (ob(F)  B1)) 
      (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  A1)))  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  B1))) 
        (arrow(F)  (ob(G)  (ob(F)  A1))  (ob(G)  (ob(F)  B1)) 
          (arrow(G)  (ob(F)  A1)  (ob(F)  B1)  (arrow(F)  A1  B1  g)))) 
      (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  B1)))  (ob(F)  B1)  (a1  (ob(F)  B1))))


By


Latex:
((RWO  "functor-arrow-comp<"  0  THENA  Auto)  THEN  RWO  "6<"  0  THEN  Auto)




Home Index