---

Step * 2 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. adj : F -| G
⊢ ∀X:cat-ob(A)
    ((cat-comp(A) (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) X))) 
      (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) X)) 
      (ob(functor-comp(F;G)) X) 
      (x |→ arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x))) (ob(F) x) ((fst(adj)) (ob(F) x)) (ob(functor-comp(F;G)) X)) 
      (x |→ arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x))) (ob(F) x) ((fst(adj)) (ob(F) x)) X))
    = (cat-comp(A) (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) X))) 
       (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) X)) 
       (ob(functor-comp(F;G)) X) 
       (arrow(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) X)) (ob(functor-comp(F;G)) X) 
        (x |→ arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x))) (ob(F) x) ((fst(adj)) (ob(F) x)) X)) 
       (x |→ arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) x))) (ob(F) x) ((fst(adj)) (ob(F) x)) X))
    ∈ (cat-arrow(A) (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) (ob(functor-comp(F;G)) X))) 
       (ob(functor-comp(F;G)) X)))
BY
{ (D -1 THEN D -2 THEN Intro THEN RepUR ``functor-comp`` 0) }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
8. X : cat-ob(A)
⊢ (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (a1 (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))
= (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) 
    (arrow(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
     (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))
∈ (cat-arrow(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) X)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  adj  :  F  -|  G
\mvdash{}  \mforall{}X:cat-ob(A)
        ((cat-comp(A)  (ob(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  X))) 
            (ob(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  X)) 
            (ob(functor-comp(F;G))  X) 
            (x  |\mrightarrow{}  arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  x)))  (ob(F)  x)  ((fst(adj))  (ob(F)  x)) 
              (ob(functor-comp(F;G))  X)) 
            (x  |\mrightarrow{}  arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  x)))  (ob(F)  x)  ((fst(adj))  (ob(F)  x))  X))
        =  (cat-comp(A)  (ob(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  X))) 
              (ob(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  X)) 
              (ob(functor-comp(F;G))  X) 
              (arrow(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  (ob(functor-comp(F;G))  X)) 
                (ob(functor-comp(F;G))  X) 
                (x  |\mrightarrow{}  arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  x)))  (ob(F)  x)  ((fst(adj))  (ob(F)  x))  X)) 
              (x  |\mrightarrow{}  arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  x)))  (ob(F)  x)  ((fst(adj))  (ob(F)  x))  X)))


By

---

Latex:
(D  -1  THEN  D  -2  THEN  Intro  THEN  RepUR  ``functor-comp``  0)

---

Home Index