---

Step * 2 1 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1, a2>);snd(<a1, a2>))
8. X : cat-ob(A)
⊢ (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (a1 (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))
= (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) 
    (arrow(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
     (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))
∈ (cat-arrow(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) X)))
BY
{ (D -2 THEN All Reduce) }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. ∀d:cat-ob(A)
     ((cat-comp(B) (ob(F) d) (ob(F) (ob(G) (ob(F) d))) (ob(F) d) (arrow(F) d (ob(G) (ob(F) d)) (a2 d)) (a1 (ob(F) d)))
     = (cat-id(B) (ob(F) d))
     ∈ (cat-arrow(B) (ob(F) d) (ob(F) d)))
8. ∀c:cat-ob(B)
     ((cat-comp(A) (ob(G) c) (ob(G) (ob(F) (ob(G) c))) (ob(G) c) (a2 (ob(G) c)) (arrow(G) (ob(F) (ob(G) c)) c (a1 c)))
     = (cat-id(A) (ob(G) c))
     ∈ (cat-arrow(A) (ob(G) c) (ob(G) c)))
9. X : cat-ob(A)
⊢ (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (a1 (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))
= (cat-comp(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))))) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) 
    (arrow(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))) (ob(G) (ob(F) X)) 
     (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))) 
   (arrow(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X))) (ob(F) X) (a1 (ob(F) X))))
∈ (cat-arrow(A) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) (ob(G) (ob(F) X)))))) (ob(G) (ob(F) X)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6.  a2  :  nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7.  counit-unit-equations(A;B;F;G;fst(<a1,  a2>);snd(<a1,  a2>))
8.  X  :  cat-ob(A)
\mvdash{}  (cat-comp(A)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X))))))  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X)))) 
      (ob(G)  (ob(F)  X)) 
      (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X)))))  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X))) 
        (a1  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X))))) 
      (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X)))  (ob(F)  X)  (a1  (ob(F)  X))))
=  (cat-comp(A)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X))))))  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X)))) 
      (ob(G)  (ob(F)  X)) 
      (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X)))))  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X))) 
        (arrow(F)  (ob(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X))))  (ob(G)  (ob(F)  X)) 
          (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X)))  (ob(F)  X)  (a1  (ob(F)  X))))) 
      (arrow(G)  (ob(F)  (ob(G)  (ob(F)  X)))  (ob(F)  X)  (a1  (ob(F)  X))))


By

---

Latex:
(D  -2  THEN  All  Reduce)

---

Home Index