---

Step * 3 of Lemma ext-equal-presheaves-equiv-rel


1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.ext-equal-presheaves(C;F;G))
3. a : Presheaf(C)
4. b : Presheaf(C)
5. c : Presheaf(C)
6. ext-equal-presheaves(C;a;b)
7. ext-equal-presheaves(C;b;c)
⊢ ext-equal-presheaves(C;a;c)
BY
{ ((All (Unfold `ext-equal-presheaves`) THEN ExRepD)
   THEN (Assert ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x BY
               (ParallelOp -2 THEN InstHyp [⌜x⌝] (-6)⋅ THEN Auto THEN All (Unfold `ext-eq`) THEN Auto))
   THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.(∀x:cat-ob(C). ob(F) x ≡ ob(G) x)
∧ (∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(F) x y f) = (arrow(G) x y f) ∈ ((ob(F) x) ⟶ (ob(F) y)))))
3. a : Presheaf(C)
4. b : Presheaf(C)
5. c : Presheaf(C)
6. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(b) x
7. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y)))
8. ∀x:cat-ob(C). ob(b) x ≡ ob(c) x
9. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y)))
10. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
11. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
12. x : cat-ob(C)
13. y : cat-ob(C)
14. f : cat-arrow(C) y x
⊢ (arrow(a) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  Sym(Presheaf(C);F,G.ext-equal-presheaves(C;F;G))
3.  a  :  Presheaf(C)
4.  b  :  Presheaf(C)
5.  c  :  Presheaf(C)
6.  ext-equal-presheaves(C;a;b)
7.  ext-equal-presheaves(C;b;c)
\mvdash{}  ext-equal-presheaves(C;a;c)


By

---

Latex:
((All  (Unfold  `ext-equal-presheaves`)  THEN  ExRepD)
  THEN  (Assert  \mforall{}x:cat-ob(C).  ob(a)  x  \mequiv{}  ob(c)  x  BY
                          (ParallelOp  -2
                            THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]  (-6)\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  All  (Unfold  `ext-eq`)
                            THEN  Auto))
  THEN  Auto)

---

Home Index