---

Step * 3 1 of Lemma ext-equal-presheaves-equiv-rel


1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.(∀x:cat-ob(C). ob(F) x ≡ ob(G) x)
∧ (∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(F) x y f) = (arrow(G) x y f) ∈ ((ob(F) x) ⟶ (ob(F) y)))))
3. a : Presheaf(C)
4. b : Presheaf(C)
5. c : Presheaf(C)
6. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(b) x
7. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y)))
8. ∀x:cat-ob(C). ob(b) x ≡ ob(c) x
9. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y)))
10. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
11. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
12. x : cat-ob(C)
13. y : cat-ob(C)
14. f : cat-arrow(C) y x
⊢ (arrow(a) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y))
BY
{ ((Assert (arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y)) BY
          BackThruSomeHyp)
   THEN (Assert (arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y)) BY
               BackThruSomeHyp)
   ) }

1
1. C : SmallCategory
2. Sym(Presheaf(C);F,G.(∀x:cat-ob(C). ob(F) x ≡ ob(G) x)
∧ (∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(F) x y f) = (arrow(G) x y f) ∈ ((ob(F) x) ⟶ (ob(F) y)))))
3. a : Presheaf(C)
4. b : Presheaf(C)
5. c : Presheaf(C)
6. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(b) x
7. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y)))
8. ∀x:cat-ob(C). ob(b) x ≡ ob(c) x
9. ∀x,y:cat-ob(C). ∀f:cat-arrow(C) y x.  ((arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y)))
10. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
11. ∀x:cat-ob(C). ob(a) x ≡ ob(c) x
12. x : cat-ob(C)
13. y : cat-ob(C)
14. f : cat-arrow(C) y x
15. (arrow(a) x y f) = (arrow(b) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y))
16. (arrow(b) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(b) x) ⟶ (ob(b) y))
⊢ (arrow(a) x y f) = (arrow(c) x y f) ∈ ((ob(a) x) ⟶ (ob(a) y))

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  Sym(Presheaf(C);F,G.(\mforall{}x:cat-ob(C).  ob(F)  x  \mequiv{}  ob(G)  x)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  y  x.    ((arrow(F)  x  y  f)  =  (arrow(G)  x  y  f))))
3.  a  :  Presheaf(C)
4.  b  :  Presheaf(C)
5.  c  :  Presheaf(C)
6.  \mforall{}x:cat-ob(C).  ob(a)  x  \mequiv{}  ob(b)  x
7.  \mforall{}x,y:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  y  x.    ((arrow(a)  x  y  f)  =  (arrow(b)  x  y  f))
8.  \mforall{}x:cat-ob(C).  ob(b)  x  \mequiv{}  ob(c)  x
9.  \mforall{}x,y:cat-ob(C).  \mforall{}f:cat-arrow(C)  y  x.    ((arrow(b)  x  y  f)  =  (arrow(c)  x  y  f))
10.  \mforall{}x:cat-ob(C).  ob(a)  x  \mequiv{}  ob(c)  x
11.  \mforall{}x:cat-ob(C).  ob(a)  x  \mequiv{}  ob(c)  x
12.  x  :  cat-ob(C)
13.  y  :  cat-ob(C)
14.  f  :  cat-arrow(C)  y  x
\mvdash{}  (arrow(a)  x  y  f)  =  (arrow(c)  x  y  f)


By

---

Latex:
((Assert  (arrow(a)  x  y  f)  =  (arrow(b)  x  y  f)  BY
                BackThruSomeHyp)
  THEN  (Assert  (arrow(b)  x  y  f)  =  (arrow(c)  x  y  f)  BY
                          BackThruSomeHyp)
  )

---

Home Index