---

Step * of Lemma groupoid-cube-lemma2

∀[G:Groupoid]. ∀[x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111:cat-ob(cat(G))]. ∀[a:cat-arrow(cat(G)) x001 x011].
∀[b:cat-arrow(cat(G)) x011 x111]. ∀[c:cat-arrow(cat(G)) x001 x101]. ∀[d:cat-arrow(cat(G)) x101 x111].
∀[e:cat-arrow(cat(G)) x000 x010]. ∀[f:cat-arrow(cat(G)) x010 x110]. ∀[g:cat-arrow(cat(G)) x000 x100].
∀[h:cat-arrow(cat(G)) x100 x110].
  uiff(a o b = c o d;e o f = g o h) 
  supposing (∃i:cat-arrow(cat(G)) x000 x001
              ∃j:cat-arrow(cat(G)) x010 x011
               ∃k:cat-arrow(cat(G)) x110 x111
                ∃l:cat-arrow(cat(G)) x100 x101. (e o j = i o a ∧ f o k = j o b ∧ l o d = h o k ∧ i o c = g o l))
  ∨ (∃i:cat-arrow(cat(G)) x001 x000
      ∃j:cat-arrow(cat(G)) x011 x010
       ∃k:cat-arrow(cat(G)) x111 x110
        ∃l:cat-arrow(cat(G)) x101 x100. (a o j = i o e ∧ b o k = j o f ∧ d o k = l o h ∧ i o g = c o l))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto) THEN D -1 THEN ExRepD) }

1
1. G : Groupoid
2. x000 : cat-ob(cat(G))
3. x100 : cat-ob(cat(G))
4. x010 : cat-ob(cat(G))
5. x110 : cat-ob(cat(G))
6. x001 : cat-ob(cat(G))
7. x101 : cat-ob(cat(G))
8. x011 : cat-ob(cat(G))
9. x111 : cat-ob(cat(G))
10. a : cat-arrow(cat(G)) x001 x011
11. b : cat-arrow(cat(G)) x011 x111
12. c : cat-arrow(cat(G)) x001 x101
13. d : cat-arrow(cat(G)) x101 x111
14. e : cat-arrow(cat(G)) x000 x010
15. f : cat-arrow(cat(G)) x010 x110
16. g : cat-arrow(cat(G)) x000 x100
17. h : cat-arrow(cat(G)) x100 x110
18. i : cat-arrow(cat(G)) x000 x001
19. j : cat-arrow(cat(G)) x010 x011
20. k : cat-arrow(cat(G)) x110 x111
21. l : cat-arrow(cat(G)) x100 x101
22. e o j = i o a
23. f o k = j o b
24. l o d = h o k
25. i o c = g o l
⊢ uiff(a o b = c o d;e o f = g o h)

2
1. G : Groupoid
2. x000 : cat-ob(cat(G))
3. x100 : cat-ob(cat(G))
4. x010 : cat-ob(cat(G))
5. x110 : cat-ob(cat(G))
6. x001 : cat-ob(cat(G))
7. x101 : cat-ob(cat(G))
8. x011 : cat-ob(cat(G))
9. x111 : cat-ob(cat(G))
10. a : cat-arrow(cat(G)) x001 x011
11. b : cat-arrow(cat(G)) x011 x111
12. c : cat-arrow(cat(G)) x001 x101
13. d : cat-arrow(cat(G)) x101 x111
14. e : cat-arrow(cat(G)) x000 x010
15. f : cat-arrow(cat(G)) x010 x110
16. g : cat-arrow(cat(G)) x000 x100
17. h : cat-arrow(cat(G)) x100 x110
18. i : cat-arrow(cat(G)) x001 x000
19. j : cat-arrow(cat(G)) x011 x010
20. k : cat-arrow(cat(G)) x111 x110
21. l : cat-arrow(cat(G)) x101 x100
22. a o j = i o e
23. b o k = j o f
24. d o k = l o h
25. i o g = c o l
⊢ uiff(a o b = c o d;e o f = g o h)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[G:Groupoid].  \mforall{}[x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111:cat-ob(cat(G))].
\mforall{}[a:cat-arrow(cat(G))  x001  x011].  \mforall{}[b:cat-arrow(cat(G))  x011  x111].
\mforall{}[c:cat-arrow(cat(G))  x001  x101].  \mforall{}[d:cat-arrow(cat(G))  x101  x111].
\mforall{}[e:cat-arrow(cat(G))  x000  x010].  \mforall{}[f:cat-arrow(cat(G))  x010  x110].
\mforall{}[g:cat-arrow(cat(G))  x000  x100].  \mforall{}[h:cat-arrow(cat(G))  x100  x110].
    uiff(a  o  b  =  c  o  d;e  o  f  =  g  o  h) 
    supposing  (\mexists{}i:cat-arrow(cat(G))  x000  x001
                            \mexists{}j:cat-arrow(cat(G))  x010  x011
                              \mexists{}k:cat-arrow(cat(G))  x110  x111
                                \mexists{}l:cat-arrow(cat(G))  x100  x101
                                  (e  o  j  =  i  o  a  \mwedge{}  f  o  k  =  j  o  b  \mwedge{}  l  o  d  =  h  o  k  \mwedge{}  i  o  c  =  g  o  l))
    \mvee{}  (\mexists{}i:cat-arrow(cat(G))  x001  x000
            \mexists{}j:cat-arrow(cat(G))  x011  x010
              \mexists{}k:cat-arrow(cat(G))  x111  x110
                \mexists{}l:cat-arrow(cat(G))  x101  x100
                  (a  o  j  =  i  o  e  \mwedge{}  b  o  k  =  j  o  f  \mwedge{}  d  o  k  =  l  o  h  \mwedge{}  i  o  g  =  c  o  l))


By

---

Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  D  -1  THEN  ExRepD)

---

Home Index