Nuprl Lemma : groupoid-cube-lemma2

[G:Groupoid]. ∀[x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111:cat-ob(cat(G))]. ∀[a:cat-arrow(cat(G)) x001 x011].
[b:cat-arrow(cat(G)) x011 x111]. ∀[c:cat-arrow(cat(G)) x001 x101]. ∀[d:cat-arrow(cat(G)) x101 x111].
[e:cat-arrow(cat(G)) x000 x010]. ∀[f:cat-arrow(cat(G)) x010 x110]. ∀[g:cat-arrow(cat(G)) x000 x100].
[h:cat-arrow(cat(G)) x100 x110].
  uiff(a d;e h) 
  supposing (∃i:cat-arrow(cat(G)) x000 x001
              ∃j:cat-arrow(cat(G)) x010 x011
               ∃k:cat-arrow(cat(G)) x110 x111
                ∃l:cat-arrow(cat(G)) x100 x101. (e a ∧ b ∧ k ∧ l))
  ∨ (∃i:cat-arrow(cat(G)) x001 x000
      ∃j:cat-arrow(cat(G)) x011 x010
       ∃k:cat-arrow(cat(G)) x111 x110
        ∃l:cat-arrow(cat(G)) x101 x100. (a e ∧ f ∧ h ∧ l))


Proof




Definitions occuring in Statement :  groupoid-cat: cat(G) groupoid: Groupoid cat-square-commutes: x_y1 y1_z x_y2 y2_z cat-arrow: cat-arrow(C) cat-ob: cat-ob(C) uiff: uiff(P;Q) uimplies: supposing a uall: [x:A]. B[x] exists: x:A. B[x] or: P ∨ Q and: P ∧ Q apply: a
Definitions unfolded in proof :  so_apply: x[s] prop: so_lambda: λ2x.t[x] uall: [x:A]. B[x] member: t ∈ T and: P ∧ Q exists: x:A. B[x] or: P ∨ Q uimplies: supposing a uiff: uiff(P;Q) cat-square-commutes: x_y1 y1_z x_y2 y2_z cand: c∧ B
Lemmas referenced :  groupoid_wf cat-ob_wf cat-arrow_wf exists_wf or_wf groupoid-cat_wf cat-square-commutes_wf groupoid-cube-lemma groupoid-cube-lemma-rev
Rules used in proof :  productEquality because_Cache lambdaEquality sqequalRule applyEquality hypothesis hypothesisEquality isectElimination lemma_by_obid cut productElimination thin unionElimination sqequalReflexivity computationStep sqequalTransitivity sqequalSubstitution sqequalHypSubstitution isect_memberFormation introduction independent_pairEquality isect_memberEquality axiomEquality equalityTransitivity equalitySymmetry independent_pairFormation independent_isectElimination

Latex:
\mforall{}[G:Groupoid].  \mforall{}[x000,x100,x010,x110,x001,x101,x011,x111:cat-ob(cat(G))].
\mforall{}[a:cat-arrow(cat(G))  x001  x011].  \mforall{}[b:cat-arrow(cat(G))  x011  x111].
\mforall{}[c:cat-arrow(cat(G))  x001  x101].  \mforall{}[d:cat-arrow(cat(G))  x101  x111].
\mforall{}[e:cat-arrow(cat(G))  x000  x010].  \mforall{}[f:cat-arrow(cat(G))  x010  x110].
\mforall{}[g:cat-arrow(cat(G))  x000  x100].  \mforall{}[h:cat-arrow(cat(G))  x100  x110].
    uiff(a  o  b  =  c  o  d;e  o  f  =  g  o  h) 
    supposing  (\mexists{}i:cat-arrow(cat(G))  x000  x001
                            \mexists{}j:cat-arrow(cat(G))  x010  x011
                              \mexists{}k:cat-arrow(cat(G))  x110  x111
                                \mexists{}l:cat-arrow(cat(G))  x100  x101
                                  (e  o  j  =  i  o  a  \mwedge{}  f  o  k  =  j  o  b  \mwedge{}  l  o  d  =  h  o  k  \mwedge{}  i  o  c  =  g  o  l))
    \mvee{}  (\mexists{}i:cat-arrow(cat(G))  x001  x000
            \mexists{}j:cat-arrow(cat(G))  x011  x010
              \mexists{}k:cat-arrow(cat(G))  x111  x110
                \mexists{}l:cat-arrow(cat(G))  x101  x100
                  (a  o  j  =  i  o  e  \mwedge{}  b  o  k  =  j  o  f  \mwedge{}  d  o  k  =  l  o  h  \mwedge{}  i  o  g  =  c  o  l))



Date html generated: 2016_05_18-AM-11_56_01
Last ObjectModification: 2015_12_28-PM-02_23_50

Theory : small!categories


Home Index