---

Step * 2 1 1 of Lemma presheaf-subset_wf


1. C : SmallCategory
2. F : Presheaf(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ
4. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5. I : cat-ob(C)
6. J : cat-ob(C)
7. K : cat-ob(C)
8. f : cat-arrow(C) J I
9. g : cat-arrow(C) K J
10. rho : ob(F) I
11. P[I;rho]
12. ∀[f:cat-arrow(op-cat(C)) I J]. ∀[g:cat-arrow(op-cat(C)) J K].
      ((arrow(F) I K (cat-comp(op-cat(C)) I J K f g))
      = (cat-comp(TypeCat) (ob(F) I) (ob(F) J) (ob(F) K) (arrow(F) I J f) (arrow(F) J K g))
      ∈ (cat-arrow(TypeCat) (ob(F) I) (ob(F) K)))
⊢ (arrow(F) I K (cat-comp(C) K J I g f) rho) = (arrow(F) J K g (arrow(F) I J f rho)) ∈ (ob(F) K)
BY
{ (((RWO  "cat_ob_op_lemma op-cat-id op-cat-arrow op-cat-comp" (-1) THENA Auto)
    THEN (InstHyp [⌜f⌝;⌜g⌝] (-1)⋅ THENA Auto)
    )
   THEN RepUR ``type-cat`` -1
   ) }

1
1. C : SmallCategory
2. F : Presheaf(C)
3. P : I:cat-ob(C) ⟶ (ob(F) I) ⟶ ℙ
4. stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5. I : cat-ob(C)
6. J : cat-ob(C)
7. K : cat-ob(C)
8. f : cat-arrow(C) J I
9. g : cat-arrow(C) K J
10. rho : ob(F) I
11. P[I;rho]
12. ∀[f:cat-arrow(C) J I]. ∀[g:cat-arrow(C) K J].
      ((arrow(F) I K (cat-comp(C) K J I g f))
      = (cat-comp(TypeCat) (ob(F) I) (ob(F) J) (ob(F) K) (arrow(F) I J f) (arrow(F) J K g))
      ∈ (cat-arrow(TypeCat) (ob(F) I) (ob(F) K)))
13. (arrow(F) I K (cat-comp(C) K J I g f)) = ((arrow(F) J K g) o (arrow(F) I J f)) ∈ ((ob(F) I) ⟶ (ob(F) K))
⊢ (arrow(F) I K (cat-comp(C) K J I g f) rho) = (arrow(F) J K g (arrow(F) I J f rho)) ∈ (ob(F) K)

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  F  :  Presheaf(C)
3.  P  :  I:cat-ob(C)  {}\mrightarrow{}  (ob(F)  I)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  stable-element-predicate(C;F;I,rho.P[I;rho])
5.  I  :  cat-ob(C)
6.  J  :  cat-ob(C)
7.  K  :  cat-ob(C)
8.  f  :  cat-arrow(C)  J  I
9.  g  :  cat-arrow(C)  K  J
10.  rho  :  ob(F)  I
11.  P[I;rho]
12.  \mforall{}[f:cat-arrow(op-cat(C))  I  J].  \mforall{}[g:cat-arrow(op-cat(C))  J  K].
            ((arrow(F)  I  K  (cat-comp(op-cat(C))  I  J  K  f  g))
            =  (cat-comp(TypeCat)  (ob(F)  I)  (ob(F)  J)  (ob(F)  K)  (arrow(F)  I  J  f)  (arrow(F)  J  K  g)))
\mvdash{}  (arrow(F)  I  K  (cat-comp(C)  K  J  I  g  f)  rho)  =  (arrow(F)  J  K  g  (arrow(F)  I  J  f  rho))


By

---

Latex:
(((RWO    "cat\_ob\_op\_lemma  op-cat-id  op-cat-arrow  op-cat-comp"  (-1)  THENA  Auto)
    THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}g\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  Auto)
    )
  THEN  RepUR  ``type-cat``  -1
  )

---

Home Index