---

Step * of Lemma simple_general_fan_theorem

∀[T:Type]
  (Bounded(T)
  ⇒ (∀[X:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ]
        (∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(X[n;s])) ⇒ (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕk. X[n;f])]) supposing ∀f:ℕ ⟶ T. (↓∃n:ℕ. X[n;f])))
BY
{ (Unfold `bounded-type` 0
   THEN Auto
   THEN InstLemma `basic_bar_induction` [⌜T⌝;⌜X⌝;⌜λ2n s.∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃m:ℕk. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)])]⌝]⋅
   THEN Reduce (-1)
   THEN Auto) }

1
1. [T] : Type
2. ∀K:T ⟶ ℕ. (∃B:ℕ [(∀t:T. ((K t) ≤ B))])
3. [X] : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. ∀f:ℕ ⟶ T. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(X[n;s])
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ T
8. X[n;s]
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃m:ℕk. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)])]

2
1. [T] : Type
2. ∀K:T ⟶ ℕ. (∃B:ℕ [(∀t:T. ((K t) ≤ B))])
3. [X] : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. ∀f:ℕ ⟶ T. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(X[n;s])
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ T
8. ∀t:T. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃m:ℕk. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)])]

3
1. [T] : Type
2. ∀K:T ⟶ ℕ. (∃B:ℕ [(∀t:T. ((K t) ≤ B))])
3. [X] : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
4. ∀f:ℕ ⟶ T. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(X[n;s])
6. ∀x:Top. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃m:ℕk. X[0 + m;seq-append(0;m;x;f)])])
⊢ ∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕk. X[n;f])]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[T:Type]
    (Bounded(T)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[X:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}]
                (\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(X[n;s]))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  \mexists{}n:\mBbbN{}k.  X[n;f])]) 
                supposing  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])))


By

---

Latex:
(Unfold  `bounded-type`  0
  THEN  Auto
  THEN  InstLemma  `basic\_bar\_induction`  [\mkleeneopen{}T\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}n  s.\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
                                                                                                                              \mexists{}m:\mBbbN{}k
                                                                                                                                X[n  +  m;seq-append(n;m;s;f)])]\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  Auto)

---

Home Index