---

Step * 2 1 1 of Lemma simple_general_fan_theorem


1. T : Type
2. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
3. ∀f:ℕ ⟶ T. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(X[n;s])
5. n : ℕ
6. s : ℕn ⟶ T
7. ∀t:T. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
8. K : t:T ⟶ ℕ
9. ∀t:T. ∀f:ℕ ⟶ T.  ∃m:ℕK t. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)]
10. B : ℕ
11. ∀t:T. ((K t) ≤ B)
12. f : ℕ ⟶ T
⊢ ∃m:ℕB + 1. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)]
BY
{ ((Assert (K (f 0)) ≤ B BY
          Auto)
   THEN (InstHyp [⌜f 0⌝;⌜λn.(f (n + 1))⌝] (-5)⋅ THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN With ⌜m + 1⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ ℙ
3. ∀f:ℕ ⟶ T. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(X[n;s])
5. n : ℕ
6. s : ℕn ⟶ T
7. ∀t:T. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ T. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
8. K : t:T ⟶ ℕ
9. ∀t:T. ∀f:ℕ ⟶ T.  ∃m:ℕK t. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)]
10. B : ℕ
11. ∀t:T. ((K t) ≤ B)
12. f : ℕ ⟶ T
13. (K (f 0)) ≤ B
14. m : ℕK (f 0)
15. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++f 0;λn.(f (n + 1)))]
⊢ X[n + m + 1;seq-append(n;m + 1;s;f)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(X[n;s])
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T
7.  \mforall{}t:T.  (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++t;f)])])
8.  K  :  t:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
9.  \mforall{}t:T.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.    \mexists{}m:\mBbbN{}K  t.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++t;f)]
10.  B  :  \mBbbN{}
11.  \mforall{}t:T.  ((K  t)  \mleq{}  B)
12.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
\mvdash{}  \mexists{}m:\mBbbN{}B  +  1.  X[n  +  m;seq-append(n;m;s;f)]


By

---

Latex:
((Assert  (K  (f  0))  \mleq{}  B  BY
                Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}f  0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}n.(f  (n  +  1))\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  With  \mkleeneopen{}m  +  1\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index