---

Step * 2 1 2 2 of Lemma simple_fan_theorem'


1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;f)]
9. k1 : ℕ
10. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk1. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++ff;f)]
11. f : ℕ ⟶ 𝔹
12. ¬↑(f 0)
13. m : ℕk
14. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;λn.(f (n + 1)))]
15. m1 : ℕk1
16. X[(n + 1) + m1;seq-append(n + 1;m1;s++ff;λn.(f (n + 1)))]
17. f 0 = ff
⊢ ∃m:ℕimax(k;k1) + 1. X[n + m;seq-append(n;m;s;f)]
BY
{ (With ⌜m1 + 1⌝ (D 0)⋅ THEN Auto)⋅ }

1
1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;f)]
9. k1 : ℕ
10. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk1. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++ff;f)]
11. f : ℕ ⟶ 𝔹
12. ¬↑(f 0)
13. m : ℕk
14. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;λn.(f (n + 1)))]
15. m1 : ℤ
16. 0 ≤ m1
17. m1 < k1
18. X[(n + 1) + m1;seq-append(n + 1;m1;s++ff;λn.(f (n + 1)))]
19. f 0 = ff
⊢ m1 < (imax(k;k1) + 1) - 1

2
1. X : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ ℙ
2. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. (↓∃n:ℕ. X[n;f])
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ 𝔹.  Dec(X[n;s])
4. n : ℕ@i
5. s : ℕn ⟶ 𝔹@i
6. ∀t:𝔹. (∃k:ℕ [(∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++t;f)])])
7. k : ℕ
8. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;f)]
9. k1 : ℕ
10. ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ∃m:ℕk1. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++ff;f)]
11. f : ℕ ⟶ 𝔹
12. ¬↑(f 0)
13. m : ℕk
14. X[(n + 1) + m;seq-append(n + 1;m;s++tt;λn.(f (n + 1)))]
15. m1 : ℕk1
16. X[(n + 1) + m1;seq-append(n + 1;m1;s++ff;λn.(f (n + 1)))]
17. f 0 = ff
⊢ X[n + m1 + 1;seq-append(n;m1 + 1;s;f)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  X[n;f])
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    Dec(X[n;s])
4.  n  :  \mBbbN{}@i
5.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}@i
6.  \mforall{}t:\mBbbB{}.  (\mexists{}k:\mBbbN{}  [(\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++t;f)])])
7.  k  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}k.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++tt;f)]
9.  k1  :  \mBbbN{}
10.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}k1.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++ff;f)]
11.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
12.  \mneg{}\muparrow{}(f  0)
13.  m  :  \mBbbN{}k
14.  X[(n  +  1)  +  m;seq-append(n  +  1;m;s++tt;\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))]
15.  m1  :  \mBbbN{}k1
16.  X[(n  +  1)  +  m1;seq-append(n  +  1;m1;s++ff;\mlambda{}n.(f  (n  +  1)))]
17.  f  0  =  ff
\mvdash{}  \mexists{}m:\mBbbN{}imax(k;k1)  +  1.  X[n  +  m;seq-append(n;m;s;f)]


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}m1  +  1\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index