---

Step * 1 1 of Lemma isom-preserves-win2

.....assertion..... 
1. g1 : SimpleGame
2. g2 : SimpleGame
3. f : Pos(g1) ⟶ Pos(g2)
4. g : Pos(g2) ⟶ Pos(g1)
5. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(f x;f y))
6. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(f x;f y))
7. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(g x;g y))
8. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(g x;g y))
9. ∀x:Pos(g2). ((f (g x)) = x ∈ Pos(g2))
10. ∀x:Pos(g1). ((g (f x)) = x ∈ Pos(g1))
11. (f InitialPos(g1)) = InitialPos(g2) ∈ Pos(g2)
12. (g InitialPos(g2)) = InitialPos(g1) ∈ Pos(g1)
13. ∀[n:ℕ]. win2strat(g1;n)
14. n : ℕ
15. s : win2strat(g1;n)
⊢ (λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n))
∧ (∀moves:strat2play(g2;n;λmoves.(f (s g o moves))). (g o moves ∈ strat2play(g1;n;s)))
BY
{ (NatInd (-2) THENL [(Unfold `win2strat` 0 THEN Reduce 0 THEN Auto) ; Intro⋅]) }

1
1. g1 : SimpleGame
2. g2 : SimpleGame
3. f : Pos(g1) ⟶ Pos(g2)
4. g : Pos(g2) ⟶ Pos(g1)
5. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(f x;f y))
6. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(f x;f y))
7. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(g x;g y))
8. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(g x;g y))
9. ∀x:Pos(g2). ((f (g x)) = x ∈ Pos(g2))
10. ∀x:Pos(g1). ((g (f x)) = x ∈ Pos(g1))
11. (f InitialPos(g1)) = InitialPos(g2) ∈ Pos(g2)
12. (g InitialPos(g2)) = InitialPos(g1) ∈ Pos(g1)
13. ∀[n:ℕ]. win2strat(g1;n)
14. n : ℤ
15. s : Top
16. λmoves.(f (s g o moves)) ∈ Top
17. moves : strat2play(g2;0;λmoves.(f (s g o moves)))
⊢ g o moves ∈ strat2play(g1;0;s)

2
1. g1 : SimpleGame
2. g2 : SimpleGame
3. f : Pos(g1) ⟶ Pos(g2)
4. g : Pos(g2) ⟶ Pos(g1)
5. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(f x;f y))
6. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(f x;f y))
7. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(g x;g y))
8. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(g x;g y))
9. ∀x:Pos(g2). ((f (g x)) = x ∈ Pos(g2))
10. ∀x:Pos(g1). ((g (f x)) = x ∈ Pos(g1))
11. (f InitialPos(g1)) = InitialPos(g2) ∈ Pos(g2)
12. (g InitialPos(g2)) = InitialPos(g1) ∈ Pos(g1)
13. ∀[n:ℕ]. win2strat(g1;n)
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. ∀s:win2strat(g1;n - 1)
      ((λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n - 1))
      ∧ (∀moves:strat2play(g2;n - 1;λmoves.(f (s g o moves))). (g o moves ∈ strat2play(g1;n - 1;s))))
17. s : win2strat(g1;n)
⊢ (λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n))
∧ (∀moves:strat2play(g2;n;λmoves.(f (s g o moves))). (g o moves ∈ strat2play(g1;n;s)))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  g1  :  SimpleGame
2.  g2  :  SimpleGame
3.  f  :  Pos(g1)  {}\mrightarrow{}  Pos(g2)
4.  g  :  Pos(g2)  {}\mrightarrow{}  Pos(g1)
5.  \mforall{}x,y:Pos(g1).    (Legal1(x;y)  {}\mRightarrow{}  Legal1(f  x;f  y))
6.  \mforall{}x,y:Pos(g1).    (Legal2(x;y)  {}\mRightarrow{}  Legal2(f  x;f  y))
7.  \mforall{}x,y:Pos(g2).    (Legal1(x;y)  {}\mRightarrow{}  Legal1(g  x;g  y))
8.  \mforall{}x,y:Pos(g2).    (Legal2(x;y)  {}\mRightarrow{}  Legal2(g  x;g  y))
9.  \mforall{}x:Pos(g2).  ((f  (g  x))  =  x)
10.  \mforall{}x:Pos(g1).  ((g  (f  x))  =  x)
11.  (f  InitialPos(g1))  =  InitialPos(g2)
12.  (g  InitialPos(g2))  =  InitialPos(g1)
13.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  win2strat(g1;n)
14.  n  :  \mBbbN{}
15.  s  :  win2strat(g1;n)
\mvdash{}  (\mlambda{}moves.(f  (s  g  o  moves))  \mmember{}  win2strat(g2;n))
\mwedge{}  (\mforall{}moves:strat2play(g2;n;\mlambda{}moves.(f  (s  g  o  moves))).  (g  o  moves  \mmember{}  strat2play(g1;n;s)))


By

---

Latex:
(NatInd  (-2)  THENL  [(Unfold  `win2strat`  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto)  ;  Intro\mcdot{}])

---

Home Index