---

Step * 1 1 2 of Lemma isom-preserves-win2


1. g1 : SimpleGame
2. g2 : SimpleGame
3. f : Pos(g1) ⟶ Pos(g2)
4. g : Pos(g2) ⟶ Pos(g1)
5. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(f x;f y))
6. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(f x;f y))
7. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(g x;g y))
8. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(g x;g y))
9. ∀x:Pos(g2). ((f (g x)) = x ∈ Pos(g2))
10. ∀x:Pos(g1). ((g (f x)) = x ∈ Pos(g1))
11. (f InitialPos(g1)) = InitialPos(g2) ∈ Pos(g2)
12. (g InitialPos(g2)) = InitialPos(g1) ∈ Pos(g1)
13. ∀[n:ℕ]. win2strat(g1;n)
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. ∀s:win2strat(g1;n - 1)
      ((λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n - 1))
      ∧ (∀moves:strat2play(g2;n - 1;λmoves.(f (s g o moves))). (g o moves ∈ strat2play(g1;n - 1;s))))
17. s : win2strat(g1;n)
⊢ (λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n))
∧ (∀moves:strat2play(g2;n;λmoves.(f (s g o moves))). (g o moves ∈ strat2play(g1;n;s)))
BY
{ ((Assert 2 ≤ (2 * n) BY
          Auto)
   THEN PromoteHyp (-1) (-3)
   THEN (Unfold `win2strat` -1
         THEN ((SplitOnHypITE -1  THENA Auto) THENL [Auto ; DepIsectHD (-2)⋅])
         THEN (D -5 With ⌜s⌝  THENA Auto))
   THEN Assert ⌜λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n)⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. g1 : SimpleGame
2. g2 : SimpleGame
3. f : Pos(g1) ⟶ Pos(g2)
4. g : Pos(g2) ⟶ Pos(g1)
5. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(f x;f y))
6. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(f x;f y))
7. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(g x;g y))
8. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(g x;g y))
9. ∀x:Pos(g2). ((f (g x)) = x ∈ Pos(g2))
10. ∀x:Pos(g1). ((g (f x)) = x ∈ Pos(g1))
11. (f InitialPos(g1)) = InitialPos(g2) ∈ Pos(g2)
12. (g InitialPos(g2)) = InitialPos(g1) ∈ Pos(g1)
13. ∀[n:ℕ]. win2strat(g1;n)
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. 2 ≤ (2 * n)
17. s : s:win2strat(g1;n - 1) ⋂ moves:{f:strat2play(g1;n - 1;s)| ||f|| = (2 * n) ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g1)| Legal2(moves[(2 * \000Cn) - 1];p)} 
18. s ∈ win2strat(g1;n - 1)
19. s ∈ moves:{f:strat2play(g1;n - 1;s)| ||f|| = (2 * n) ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g1)| Legal2(moves[(2 * n) - 1];p)} 
20. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
21. (λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n - 1))
∧ (∀moves:strat2play(g2;n - 1;λmoves.(f (s g o moves))). (g o moves ∈ strat2play(g1;n - 1;s)))
⊢ λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n)

2
1. g1 : SimpleGame
2. g2 : SimpleGame
3. f : Pos(g1) ⟶ Pos(g2)
4. g : Pos(g2) ⟶ Pos(g1)
5. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(f x;f y))
6. ∀x,y:Pos(g1).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(f x;f y))
7. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal1(x;y) ⇒ Legal1(g x;g y))
8. ∀x,y:Pos(g2).  (Legal2(x;y) ⇒ Legal2(g x;g y))
9. ∀x:Pos(g2). ((f (g x)) = x ∈ Pos(g2))
10. ∀x:Pos(g1). ((g (f x)) = x ∈ Pos(g1))
11. (f InitialPos(g1)) = InitialPos(g2) ∈ Pos(g2)
12. (g InitialPos(g2)) = InitialPos(g1) ∈ Pos(g1)
13. ∀[n:ℕ]. win2strat(g1;n)
14. n : ℤ
15. 0 < n
16. 2 ≤ (2 * n)
17. s : s:win2strat(g1;n - 1) ⋂ moves:{f:strat2play(g1;n - 1;s)| ||f|| = (2 * n) ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g1)| Legal2(moves[(2 * \000Cn) - 1];p)} 
18. s ∈ win2strat(g1;n - 1)
19. s ∈ moves:{f:strat2play(g1;n - 1;s)| ||f|| = (2 * n) ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g1)| Legal2(moves[(2 * n) - 1];p)} 
20. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
21. (λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n - 1))
∧ (∀moves:strat2play(g2;n - 1;λmoves.(f (s g o moves))). (g o moves ∈ strat2play(g1;n - 1;s)))
22. λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n)
⊢ (λmoves.(f (s g o moves)) ∈ win2strat(g2;n))
∧ (∀moves:strat2play(g2;n;λmoves.(f (s g o moves))). (g o moves ∈ strat2play(g1;n;s)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  g1  :  SimpleGame
2.  g2  :  SimpleGame
3.  f  :  Pos(g1)  {}\mrightarrow{}  Pos(g2)
4.  g  :  Pos(g2)  {}\mrightarrow{}  Pos(g1)
5.  \mforall{}x,y:Pos(g1).    (Legal1(x;y)  {}\mRightarrow{}  Legal1(f  x;f  y))
6.  \mforall{}x,y:Pos(g1).    (Legal2(x;y)  {}\mRightarrow{}  Legal2(f  x;f  y))
7.  \mforall{}x,y:Pos(g2).    (Legal1(x;y)  {}\mRightarrow{}  Legal1(g  x;g  y))
8.  \mforall{}x,y:Pos(g2).    (Legal2(x;y)  {}\mRightarrow{}  Legal2(g  x;g  y))
9.  \mforall{}x:Pos(g2).  ((f  (g  x))  =  x)
10.  \mforall{}x:Pos(g1).  ((g  (f  x))  =  x)
11.  (f  InitialPos(g1))  =  InitialPos(g2)
12.  (g  InitialPos(g2))  =  InitialPos(g1)
13.  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  win2strat(g1;n)
14.  n  :  \mBbbZ{}
15.  0  <  n
16.  \mforall{}s:win2strat(g1;n  -  1)
            ((\mlambda{}moves.(f  (s  g  o  moves))  \mmember{}  win2strat(g2;n  -  1))
            \mwedge{}  (\mforall{}moves:strat2play(g2;n  -  1;\mlambda{}moves.(f  (s  g  o  moves)))
                      (g  o  moves  \mmember{}  strat2play(g1;n  -  1;s))))
17.  s  :  win2strat(g1;n)
\mvdash{}  (\mlambda{}moves.(f  (s  g  o  moves))  \mmember{}  win2strat(g2;n))
\mwedge{}  (\mforall{}moves:strat2play(g2;n;\mlambda{}moves.(f  (s  g  o  moves))).  (g  o  moves  \mmember{}  strat2play(g1;n;s)))


By

---

Latex:
((Assert  2  \mleq{}  (2  *  n)  BY
                Auto)
  THEN  PromoteHyp  (-1)  (-3)
  THEN  (Unfold  `win2strat`  -1
              THEN  ((SplitOnHypITE  -1    THENA  Auto)  THENL  [Auto  ;  DepIsectHD  (-2)\mcdot{}])
              THEN  (D  -5  With  \mkleeneopen{}s\mkleeneclose{}    THENA  Auto))
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mlambda{}moves.(f  (s  g  o  moves))  \mmember{}  win2strat(g2;n)\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index