---

Step * 2 1 1 1 of Lemma pcw-path-coPath_wf


1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : ℕ ⟶ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w)
9. (copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ)
⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a]))
10. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
11. copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ
12. w1 : coW(A;a.B[a])
13. x : B[fst(w1)]
14. (p (n - 1)) = <⋅, w1, inl x> ∈ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
15. let a,f = w1 
    in StepAgree(p n;⋅;f x)
16. copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = w1 ∈ coW(A;a.B[a])
⊢ (copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x) ∈ copath(a.B[a];w))
∧ ((copath-length(copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x)) = n ∈ ℤ)
  ⇒ (copath-at(w;copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x)) = (fst(snd((p n)))) ∈ coW(A;a.B[a])))
BY
{ (Assert ⌜x ∈ coW-dom(a.B[a];copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)))⌝⋅ THENM Auto) }

1
.....assertion..... 
1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : ℕ ⟶ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w)
9. (copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ)
⇒ (copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a]))
10. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
11. copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ
12. w1 : coW(A;a.B[a])
13. x : B[fst(w1)]
14. (p (n - 1)) = <⋅, w1, inl x> ∈ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
15. let a,f = w1 
    in StepAgree(p n;⋅;f x)
16. copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = w1 ∈ coW(A;a.B[a])
⊢ x ∈ coW-dom(a.B[a];copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)))

2
1. A : 𝕌'
2. B : A ⟶ Type
3. w : coW(A;a.B[a])
4. p : ℕ ⟶ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
5. StepAgree(p 0;⋅;w)
6. n : ℤ
7. 0 < n
8. pcw-path-coPath(n - 1;p) ∈ copath(a.B[a];w)
9. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
10. copath-length(pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (n - 1) ∈ ℤ
11. w1 : coW(A;a.B[a])
12. x : B[fst(w1)]
13. (p (n - 1)) = <⋅, w1, inl x> ∈ pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.⋅)
14. let a,f = w1 
    in StepAgree(p n;⋅;f x)
15. copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = w1 ∈ coW(A;a.B[a])
16. x ∈ coW-dom(a.B[a];copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)))
17. copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x) ∈ copath(a.B[a];w)
18. copath-length(copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x)) = n ∈ ℤ
19. copath-at(w;pcw-path-coPath(n - 1;p)) = (fst(snd((p (n - 1))))) ∈ coW(A;a.B[a])
⊢ copath-at(w;copath-extend(pcw-path-coPath(n - 1;p);x)) = (fst(snd((p n)))) ∈ coW(A;a.B[a])

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  \mBbbU{}'
2.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
3.  w  :  coW(A;a.B[a])
4.  p  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  pcw-step(Unit;p.A;p,a.B[a];p,a,b.\mcdot{})
5.  StepAgree(p  0;\mcdot{};w)
6.  n  :  \mBbbZ{}
7.  0  <  n
8.  pcw-path-coPath(n  -  1;p)  \mmember{}  copath(a.B[a];w)
9.  (copath-length(pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (n  -  1))
{}\mRightarrow{}  (copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (fst(snd((p  (n  -  1))))))
10.  \mneg{}(n  =  0)
11.  copath-length(pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  (n  -  1)
12.  w1  :  coW(A;a.B[a])
13.  x  :  B[fst(w1)]
14.  (p  (n  -  1))  =  <\mcdot{},  w1,  inl  x>
15.  let  a,f  =  w1 
        in  StepAgree(p  n;\mcdot{};f  x)
16.  copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p))  =  w1
\mvdash{}  (copath-extend(pcw-path-coPath(n  -  1;p);x)  \mmember{}  copath(a.B[a];w))
\mwedge{}  ((copath-length(copath-extend(pcw-path-coPath(n  -  1;p);x))  =  n)
    {}\mRightarrow{}  (copath-at(w;copath-extend(pcw-path-coPath(n  -  1;p);x))  =  (fst(snd((p  n))))))


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}x  \mmember{}  coW-dom(a.B[a];copath-at(w;pcw-path-coPath(n  -  1;p)))\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENM  Auto)

---

Home Index