---

Step * 2 2 2 of Lemma vdf-wf+


1. A : Type
2. B : Type
3. C : A ⟶ B ⟶ Type
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1) ∈ Type
7. ∀f:vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1). ∀L:(a:A × b:B × C[a;b]) List.
     ((||L|| ≤ ((n - 1) + 1))
     ⇒ ((vdf-eq(A;f;L) ∈ ℙ) ∧ (vdf-eq(A;f;L) ⊆r (∀[i:ℕ||L||]. ((fst(L[i])) = (f firstn(i;L) (fst(snd(L[i])))) ∈ A)))))
8. vdf(A;B;a,b.C[a;b];n) ∈ Type
9. f : vdf(A;B;a,b.C[a;b];n)
10. L : (a:A × b:B × C[a;b]) List
11. ||L|| ≤ (n + 1)
12. ∀m:ℕ
      (m < ||L||
      ⇒ (dep-all(m;i.let a,b,c = firstn(||L|| - 1;L)[i] in 
         a = (f firstn(i;firstn(||L|| - 1;L)) b) ∈ A) ~ dep-all(m;i.let a,b,c = L[i] in 
         a = (f firstn(i;L) b) ∈ A)))
⊢ (vdf-eq(A;f;L) ∈ ℙ) ∧ (vdf-eq(A;f;L) ⊆r (∀[i:ℕ||L||]. ((fst(L[i])) = (f firstn(i;L) (fst(snd(L[i])))) ∈ A)))
BY
{ (Unfold `vdf` -4
   THEN (OReduce (-4) THENA Auto)
   THEN DepIsectHD (-4)
   THEN ((Decide ⌜||L|| ≤ n⌝⋅ THENA Auto)
         THENL [(InstHyp [⌜f⌝;⌜L⌝] 7⋅ THEN Auto); ((Assert ¬||L|| < 1 BY Auto) THEN BetterSplitAndConcl)]
   )) }

1
1. A : Type
2. B : Type
3. C : A ⟶ B ⟶ Type
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1) ∈ Type
7. ∀f:vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1). ∀L:(a:A × b:B × C[a;b]) List.
     ((||L|| ≤ ((n - 1) + 1))
     ⇒ ((vdf-eq(A;f;L) ∈ ℙ) ∧ (vdf-eq(A;f;L) ⊆r (∀[i:ℕ||L||]. ((fst(L[i])) = (f firstn(i;L) (fst(snd(L[i])))) ∈ A)))))
8. vdf(A;B;a,b.C[a;b];n) ∈ Type
9. f : f:vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1) ⋂ {L:(a:A × b:B × C[a;b]) List| (||L|| ≤ n) ∧ vdf-eq(A;f;L)}  ⟶ B ⟶ A
10. f ∈ vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1)
11. f ∈ {L:(a:A × b:B × C[a;b]) List| (||L|| ≤ n) ∧ vdf-eq(A;f;L)}  ⟶ B ⟶ A
12. L : (a:A × b:B × C[a;b]) List
13. ||L|| ≤ (n + 1)
14. ∀m:ℕ
      (m < ||L||
      ⇒ (dep-all(m;i.let a,b,c = firstn(||L|| - 1;L)[i] in 
         a = (f firstn(i;firstn(||L|| - 1;L)) b) ∈ A) ~ dep-all(m;i.let a,b,c = L[i] in 
         a = (f firstn(i;L) b) ∈ A)))
15. ¬(||L|| ≤ n)
16. ¬||L|| < 1
⊢ vdf-eq(A;f;L) ∈ ℙ

2
1. A : Type
2. B : Type
3. C : A ⟶ B ⟶ Type
4. n : ℤ
5. 0 < n
6. vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1) ∈ Type
7. ∀f:vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1). ∀L:(a:A × b:B × C[a;b]) List.
     ((||L|| ≤ ((n - 1) + 1))
     ⇒ ((vdf-eq(A;f;L) ∈ ℙ) ∧ (vdf-eq(A;f;L) ⊆r (∀[i:ℕ||L||]. ((fst(L[i])) = (f firstn(i;L) (fst(snd(L[i])))) ∈ A)))))
8. vdf(A;B;a,b.C[a;b];n) ∈ Type
9. f : f:vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1) ⋂ {L:(a:A × b:B × C[a;b]) List| (||L|| ≤ n) ∧ vdf-eq(A;f;L)}  ⟶ B ⟶ A
10. f ∈ vdf(A;B;a,b.C[a;b];n - 1)
11. f ∈ {L:(a:A × b:B × C[a;b]) List| (||L|| ≤ n) ∧ vdf-eq(A;f;L)}  ⟶ B ⟶ A
12. L : (a:A × b:B × C[a;b]) List
13. ||L|| ≤ (n + 1)
14. ∀m:ℕ
      (m < ||L||
      ⇒ (dep-all(m;i.let a,b,c = firstn(||L|| - 1;L)[i] in 
         a = (f firstn(i;firstn(||L|| - 1;L)) b) ∈ A) ~ dep-all(m;i.let a,b,c = L[i] in 
         a = (f firstn(i;L) b) ∈ A)))
15. ¬(||L|| ≤ n)
16. ¬||L|| < 1
17. vdf-eq(A;f;L) ∈ ℙ
⊢ vdf-eq(A;f;L) ⊆r (∀[i:ℕ||L||]. ((fst(L[i])) = (f firstn(i;L) (fst(snd(L[i])))) ∈ A))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  Type
2.  B  :  Type
3.  C  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  Type
4.  n  :  \mBbbZ{}
5.  0  <  n
6.  vdf(A;B;a,b.C[a;b];n  -  1)  \mmember{}  Type
7.  \mforall{}f:vdf(A;B;a,b.C[a;b];n  -  1).  \mforall{}L:(a:A  \mtimes{}  b:B  \mtimes{}  C[a;b])  List.
          ((||L||  \mleq{}  ((n  -  1)  +  1))
          {}\mRightarrow{}  ((vdf-eq(A;f;L)  \mmember{}  \mBbbP{})
                \mwedge{}  (vdf-eq(A;f;L)  \msubseteq{}r  (\mforall{}[i:\mBbbN{}||L||].  ((fst(L[i]))  =  (f  firstn(i;L)  (fst(snd(L[i])))))))))
8.  vdf(A;B;a,b.C[a;b];n)  \mmember{}  Type
9.  f  :  vdf(A;B;a,b.C[a;b];n)
10.  L  :  (a:A  \mtimes{}  b:B  \mtimes{}  C[a;b])  List
11.  ||L||  \mleq{}  (n  +  1)
12.  \mforall{}m:\mBbbN{}
            (m  <  ||L||
            {}\mRightarrow{}  (dep-all(m;i.let  a,b,c  =  firstn(||L||  -  1;L)[i]  in 
                  a  =  (f  firstn(i;firstn(||L||  -  1;L))  b))  \msim{}  dep-all(m;i.let  a,b,c  =  L[i]  in 
                  a  =  (f  firstn(i;L)  b))))
\mvdash{}  (vdf-eq(A;f;L)  \mmember{}  \mBbbP{})
\mwedge{}  (vdf-eq(A;f;L)  \msubseteq{}r  (\mforall{}[i:\mBbbN{}||L||].  ((fst(L[i]))  =  (f  firstn(i;L)  (fst(snd(L[i])))))))


By

---

Latex:
(Unfold  `vdf`  -4
  THEN  (OReduce  (-4)  THENA  Auto)
  THEN  DepIsectHD  (-4)
  THEN  ((Decide  \mkleeneopen{}||L||  \mleq{}  n\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
              THENL  [(InstHyp  [\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}L\mkleeneclose{}]  7\mcdot{}  THEN  Auto)
                          ;  ((Assert  \mneg{}||L||  <  1  BY  Auto)  THEN  BetterSplitAndConcl)]
  ))

---

Home Index