---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma win2-iff


1. g : SimpleGame
2. s : ∀[n:ℕ]. win2strat(g;n)
3. p : {p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} 
4. s ∈ win2strat(g;1 - 1)
5. s ∈ moves:{f:strat2play(g;0;s)| ||f|| = 2 ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g)| Legal2(moves[1];p)} 
6. seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())) ∈ {f:strat2play(g;0;s)| ||f|| = 2 ∈ ℤ} 
7. s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())) ∈ {q:Pos(g)| Legal2(p;q)} 
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. λmvs.(s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs))) ∈ win2strat(g@s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n 
    - 1)
11. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
12. mvs : strat2play(g@s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n 
- 1;λmvs.(s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs))))
13. ||mvs|| = (2 * n) ∈ ℤ
14. s ∈ win2strat(g;(n + 1) - 1)
15. s ∈ moves:{f:strat2play(g;(n + 1) - 1;s)| ||f|| = (2 * (n + 1)) ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g)| Legal2(moves[(2 * (n + 1)) - 1];\000Cp)} 
⊢ seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs)) ∈ strat2play(g;(n + 1) - 1;s)
BY
{ (Subst' (n + 1) - 1 ~ n 0 THENA Auto) }

1
1. g : SimpleGame
2. s : ∀[n:ℕ]. win2strat(g;n)
3. p : {p:Pos(g)| Legal1(InitialPos(g);p)} 
4. s ∈ win2strat(g;1 - 1)
5. s ∈ moves:{f:strat2play(g;0;s)| ||f|| = 2 ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g)| Legal2(moves[1];p)} 
6. seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())) ∈ {f:strat2play(g;0;s)| ||f|| = 2 ∈ ℤ} 
7. s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil())) ∈ {q:Pos(g)| Legal2(p;q)} 
8. n : ℤ
9. 0 < n
10. λmvs.(s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs))) ∈ win2strat(g@s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n 
    - 1)
11. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
12. mvs : strat2play(g@s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n 
- 1;λmvs.(s seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs))))
13. ||mvs|| = (2 * n) ∈ ℤ
14. s ∈ win2strat(g;(n + 1) - 1)
15. s ∈ moves:{f:strat2play(g;(n + 1) - 1;s)| ||f|| = (2 * (n + 1)) ∈ ℤ}  ⟶ {p:Pos(g)| Legal2(moves[(2 * (n + 1)) - 1];\000Cp)} 
⊢ seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs)) ∈ strat2play(g;n;s)

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  SimpleGame
2.  s  :  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  win2strat(g;n)
3.  p  :  \{p:Pos(g)|  Legal1(InitialPos(g);p)\} 
4.  s  \mmember{}  win2strat(g;1  -  1)
5.  s  \mmember{}  moves:\{f:strat2play(g;0;s)|  ||f||  =  2\}    {}\mrightarrow{}  \{p:Pos(g)|  Legal2(moves[1];p)\} 
6.  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()))  \mmember{}  \{f:strat2play(g;0;s)|  ||f||  =  2\} 
7.  s  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()))  \mmember{}  \{q:Pos(g)|  Legal2(p;q)\} 
8.  n  :  \mBbbZ{}
9.  0  <  n
10.  \mlambda{}mvs.(s  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs)))
        \mmember{}  win2strat(g@s  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n  -  1)
11.  \mneg{}(n  =  0)
12.  mvs  :  strat2play(g@s  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;seq-nil()));n 
-  1;\mlambda{}mvs.(s  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs))))
13.  ||mvs||  =  (2  *  n)
14.  s  \mmember{}  win2strat(g;(n  +  1)  -  1)
15.  s  \mmember{}  moves:\{f:strat2play(g;(n  +  1)  -  1;s)|  ||f||  =  (2  *  (n  +  1))\}    {}\mrightarrow{}  \{p:Pos(g)| 
                                                                                                                              Legal2(moves[(2  *  (n  +  1))  -  1];p)\} 
\mvdash{}  seq-cons(InitialPos(g);seq-cons(p;mvs))  \mmember{}  strat2play(g;(n  +  1)  -  1;s)


By

---

Latex:
(Subst'  (n  +  1)  -  1  \msim{}  n  0  THENA  Auto)

---

Home Index