---

Step * of Lemma Wleq-Wadd3

∀[A:Type]. ∀[B:A ⟶ Type].  ∀zero:A ⟶ 𝔹. ((∀a:A. (¬↑(zero a) ⇐⇒ B[a])) ⇒ (∀w1,w2:W(A;a.B[a]).  (w1 ≤  (w1 + w2))))
BY
{ (RepeatFor 4 ((D 0 THENA Auto))
   THEN UseWInductionLemma
   THEN Auto
   THEN ReduceWcmp 0
   THEN Auto
   THEN RepeatFor 2 (MoveToConcl (-1))
   THEN UseWInductionLemma
   THEN Auto
   THEN RecUnfold `Wadd` 0
   THEN Unfold `Wsup` 0
   THEN Reduce 0
   THEN Fold `Wsup` 0
   THEN AutoSplit
   THEN ReduceWcmp 0) }

1
1. [A] : Type
2. [B] : A ⟶ Type
3. zero : A ⟶ 𝔹
4. ∀a:A. (¬↑(zero a) ⇐⇒ B[a])
5. a : A
6. f : B[a] ⟶ W(A;a.B[a])
7. ∀b:B[a]. ∀w2:W(A;a.B[a]).  ((f b) ≤  (f b + w2))
8. a@0 : A
9. f@0 : B[a@0] ⟶ W(A;a.B[a])
10. ∀b:B[a@0]. ∀x:B[a].  ((f x) <  (Wsup(a;f) + f@0 b))
11. x : B[a]
12. ↑(zero a@0)
⊢ ∃x@0:B[a]. ((f x) ≤  (f x@0))

2
1. [A] : Type
2. [B] : A ⟶ Type
3. zero : A ⟶ 𝔹
4. ∀a:A. (¬↑(zero a) ⇐⇒ B[a])
5. a : A
6. f : B[a] ⟶ W(A;a.B[a])
7. ∀b:B[a]. ∀w2:W(A;a.B[a]).  ((f b) ≤  (f b + w2))
8. a@0 : A
9. ¬↑(zero a@0)
10. f@0 : B[a@0] ⟶ W(A;a.B[a])
11. ∀b:B[a@0]. ∀x:B[a].  ((f x) <  (Wsup(a;f) + f@0 b))
12. x : B[a]
⊢ ∃x@0:B[a@0]. ((f x) ≤  (Wsup(a;f) + f@0 x@0))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[A:Type].  \mforall{}[B:A  {}\mrightarrow{}  Type].
    \mforall{}zero:A  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  ((\mforall{}a:A.  (\mneg{}\muparrow{}(zero  a)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  B[a]))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}w1,w2:W(A;a.B[a]).    (w1  \mleq{}    (w1  +  w2))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  4  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  UseWInductionLemma
  THEN  Auto
  THEN  ReduceWcmp  0
  THEN  Auto
  THEN  RepeatFor  2  (MoveToConcl  (-1))
  THEN  UseWInductionLemma
  THEN  Auto
  THEN  RecUnfold  `Wadd`  0
  THEN  Unfold  `Wsup`  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  Fold  `Wsup`  0
  THEN  AutoSplit
  THEN  ReduceWcmp  0)

---

Home Index