---

Step * 2 1 of Lemma stream-lex_transitivity-proof2

.....antecedent..... 
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. Trans(T;x,y.x R y)
4. AntiSym(T;x,y.x R y)
5. ∀R':stream(T) ⟶ stream(T) ⟶ ℙ
     (R' => λs1,s2. ((s-hd(s1) R s-hd(s2)) ∧ ((s-hd(s1) = s-hd(s2) ∈ T) ⇒ (s-tl(s1) R' s-tl(s2)))) ⇒ R' => stream-lex(\000CT;R))
⊢ λs1,s2. ∃s:stream(T). ((s1 stream-lex(T;R) s) ∧ (s stream-lex(T;R) s2)) => λs1,s2. ((s-hd(s1) R s-hd(s2))
                                                                              ∧ ((s-hd(s1) = s-hd(s2) ∈ T)
                                                                                ⇒ (s-tl(s1) 
                                                                                    (λs1,s2. ∃s:stream(T)
                                                                                              ((s1 stream-lex(T;R) s)
                                                                                              ∧ (s stream-lex(T;R) s2)))\000C 
                                                                                    s-tl(s2))))
BY
{ (D 0 THEN Reduce 0 THEN Auto THEN ExRepD) }

1
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. Trans(T;x,y.x R y)
4. AntiSym(T;x,y.x R y)
5. ∀R':stream(T) ⟶ stream(T) ⟶ ℙ
     (R' => λs1,s2. ((s-hd(s1) R s-hd(s2)) ∧ ((s-hd(s1) = s-hd(s2) ∈ T) ⇒ (s-tl(s1) R' s-tl(s2)))) ⇒ R' => stream-lex(\000CT;R))
6. x : stream(T)
7. y : stream(T)
8. s : stream(T)
9. x stream-lex(T;R) s
10. s stream-lex(T;R) y
⊢ s-hd(x) R s-hd(y)

2
1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. Trans(T;x,y.x R y)
4. AntiSym(T;x,y.x R y)
5. ∀R':stream(T) ⟶ stream(T) ⟶ ℙ
     (R' => λs1,s2. ((s-hd(s1) R s-hd(s2)) ∧ ((s-hd(s1) = s-hd(s2) ∈ T) ⇒ (s-tl(s1) R' s-tl(s2)))) ⇒ R' => stream-lex(\000CT;R))
6. x : stream(T)
7. y : stream(T)
8. s : stream(T)
9. x stream-lex(T;R) s
10. s stream-lex(T;R) y
11. s-hd(x) R s-hd(y)
12. s-hd(x) = s-hd(y) ∈ T
⊢ ∃s:stream(T). ((s-tl(x) stream-lex(T;R) s) ∧ (s stream-lex(T;R) s-tl(y)))

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  T  :  Type
2.  R  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  Trans(T;x,y.x  R  y)
4.  AntiSym(T;x,y.x  R  y)
5.  \mforall{}R':stream(T)  {}\mrightarrow{}  stream(T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
          (R'  =>  \mlambda{}s1,s2.  ((s-hd(s1)  R  s-hd(s2))  \mwedge{}  ((s-hd(s1)  =  s-hd(s2))  {}\mRightarrow{}  (s-tl(s1)  R'  s-tl(s2))))
          {}\mRightarrow{}  R'  =>  stream-lex(T;R))
\mvdash{}  \mlambda{}s1,s2.  \mexists{}s:stream(T)
                      ((s1  stream-lex(T;R)  s)  \mwedge{}  (s  stream-lex(T;R)  s2))  =>  \mlambda{}s1,s2.  ((s-hd(s1)  R  s-hd(s2))
                                                                                                                                  \mwedge{}  ((s-hd(s1)  =  s-hd(s2))
                                                                                                                                      {}\mRightarrow{}  (s-tl(s1) 
                                                                                                                                              (\mlambda{}s1,s2.  \mexists{}s:stream(T)
                                                                                                                                                                  ((s1 
                                                                                                                                                                      stream-lex(T;R) 
                                                                                                                                                                      s)
                                                                                                                                                                  \mwedge{}  (s 
                                                                                                                                                                        stream-lex(T;R) 
                                                                                                                                                                        s2))) 
                                                                                                                                              s-tl(s2))))


By

---

Latex:
(D  0  THEN  Reduce  0  THEN  Auto  THEN  ExRepD)

---

Home Index