---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma all-quotient-dependent


1. T : Type
2. c : T ⟶ Base
3. ∀x:T. (c x ∈ T ⋂ Base)
4. ∀x:T. ((c x) = x ∈ T)
5. S : T ⟶ ℙ
6. E : t:T ⟶ (S t) ⟶ (S t) ⟶ ℙ
7. ∀t:T. EquivRel(S t;a,b.E t a b)
8. f : t:T ⟶ (x,y:S t//(E t x y))
9. g : Base
10. g1 : Base
11. g = g1 ∈ pertype(λf,g. ((f ∈ ∀x:T ⋂ Base. (S x)) ∧ (g ∈ ∀x:T ⋂ Base. (S x)) ∧ (∀x:T ⋂ Base. (↓E x (f x) (g x)))))
12. g ∈ ∀x:T ⋂ Base. (S x)
13. g1 ∈ ∀x:T ⋂ Base. (S x)
14. ∀x:T ⋂ Base. (↓E x (g x) (g1 x))
⊢ (g o c) = (g1 o c) ∈ (f,g:∀t:T. (S t)//dep-fun-equiv(T;t,x,y.↓E t x y;f;g))
BY
{ ((EqTypeCD THEN Try ((BLemma `dep-fun-equiv-rel` THEN EAuto 1)))
   THEN Try (((Unfold `all` 0 THEN (FunExt THENA Auto)) THEN Reduce 0 THEN Assert ⌜c t ∈ T ⋂ Base⌝⋅ THEN Auto))
   THEN Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. T : Type
2. c : T ⟶ Base
3. ∀x:T. (c x ∈ T ⋂ Base)
4. ∀x:T. ((c x) = x ∈ T)
5. S : T ⟶ ℙ
6. E : t:T ⟶ (S t) ⟶ (S t) ⟶ ℙ
7. ∀t:T. EquivRel(S t;a,b.E t a b)
8. f : t:T ⟶ (x,y:S t//(E t x y))
9. g : Base
10. g1 : Base
11. g = g1 ∈ pertype(λf,g. ((f ∈ ∀x:T ⋂ Base. (S x)) ∧ (g ∈ ∀x:T ⋂ Base. (S x)) ∧ (∀x:T ⋂ Base. (↓E x (f x) (g x)))))
12. g ∈ ∀x:T ⋂ Base. (S x)
13. g1 ∈ ∀x:T ⋂ Base. (S x)
14. ∀x:T ⋂ Base. (↓E x (g x) (g1 x))
⊢ dep-fun-equiv(T;t,x,y.↓E t x y;g o c;g1 o c)

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  c  :  T  {}\mrightarrow{}  Base
3.  \mforall{}x:T.  (c  x  \mmember{}  T  \mcap{}  Base)
4.  \mforall{}x:T.  ((c  x)  =  x)
5.  S  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
6.  E  :  t:T  {}\mrightarrow{}  (S  t)  {}\mrightarrow{}  (S  t)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
7.  \mforall{}t:T.  EquivRel(S  t;a,b.E  t  a  b)
8.  f  :  t:T  {}\mrightarrow{}  (x,y:S  t//(E  t  x  y))
9.  g  :  Base
10.  g1  :  Base
11.  g  =  g1
12.  g  \mmember{}  \mforall{}x:T  \mcap{}  Base.  (S  x)
13.  g1  \mmember{}  \mforall{}x:T  \mcap{}  Base.  (S  x)
14.  \mforall{}x:T  \mcap{}  Base.  (\mdownarrow{}E  x  (g  x)  (g1  x))
\mvdash{}  (g  o  c)  =  (g1  o  c)


By

---

Latex:
((EqTypeCD  THEN  Try  ((BLemma  `dep-fun-equiv-rel`  THEN  EAuto  1)))
  THEN  Try  (((Unfold  `all`  0  THEN  (FunExt  THENA  Auto))
                        THEN  Reduce  0
                        THEN  Assert  \mkleeneopen{}c  t  \mmember{}  T  \mcap{}  Base\mkleeneclose{}\mcdot{}
                        THEN  Auto))
  THEN  Auto)

---

Home Index