---

Step * of Lemma decidable-cantor-to-int

∀[R:ℤ ⟶ ℤ ⟶ ℙ]. ((∀x,y:ℤ.  Dec(R[x;y])) ⇒ (∀F:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℤ. Dec(∃f,g:ℕ ⟶ 𝔹. R[F f;F g])))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
   THEN (Assert ∃n:ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ)) BY
               (BLemma `cantor-to-int-uniform-continuity` THEN Auto))
   THEN ExRepD
   THEN RenameVar `m' (-2)
   THEN (Evaluate ⌜n = m ∈ ℕ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Eliminate ⌜m⌝⋅
   THEN ThinVar `m'
   THEN (Assert Dec(∃f,g:ℕn ⟶ 𝔹. R[F (λi.if i <z n then f i else ff fi );F (λi.if i <z n then g i else ff fi )]) BY
               (InstLemma `decidable-finite-cantor-to-int` [⌜R⌝;⌜n⌝;⌜λ2f.F (λi.if i <z n then f i else ff fi )⌝]⋅
                THEN Auto
                ))) }

1
1. n : ℕ
2. [R] : ℤ ⟶ ℤ ⟶ ℙ
3. ∀x,y:ℤ.  Dec(R[x;y])
4. F : (ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℤ
5. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕn ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℤ))
6. Dec(∃f,g:ℕn ⟶ 𝔹. R[F (λi.if i <z n then f i else ff fi );F (λi.if i <z n then g i else ff fi )])
⊢ Dec(∃f,g:ℕ ⟶ 𝔹. R[F f;F g])

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[R:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  ((\mforall{}x,y:\mBbbZ{}.    Dec(R[x;y]))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}F:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  Dec(\mexists{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.  R[F  f;F  g])))


By

---

Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g)))  BY
                          (BLemma  `cantor-to-int-uniform-continuity`  THEN  Auto))
  THEN  ExRepD
  THEN  RenameVar  `m'  (-2)
  THEN  (Evaluate  \mkleeneopen{}n  =  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Eliminate  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  ThinVar  `m'
  THEN  (Assert  Dec(\mexists{}f,g:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
                                      R[F  (\mlambda{}i.if  i  <z  n  then  f  i  else  ff  fi  );F 
                                                                                                                      (\mlambda{}i.if  i  <z  n  then  g  i  else  ff  fi  )])  BY
                          (InstLemma  `decidable-finite-cantor-to-int`  [\mkleeneopen{}R\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}f.F 
                                                                                                                                              (\mlambda{}i.if  i  <z  n
                                                                                                                                                      then  f  i
                                                                                                                                                      else  ff
                                                                                                                                                      fi  )\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            )))

---

Home Index