---

Step * 2 2 of Lemma gamma-neighbourhood-prop1


1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∃x:ℕ. (↑isl(gamma-neighbourhood(beta;n0) a^(x)))
4. a : finite-nat-seq()
5. ¬↑init-seg-nat-seq(a;n0)
6. b : finite-nat-seq()
⊢ (↑isl(if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta then inl 1 else inl 0 fi ))
⇒ (if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta then inl 1 else inl 0 fi 
   = if init-seg-nat-seq(a**b;n0) then inr ⋅ 
     if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a**b n0 beta then inl 1
     else inl 0
     fi 
   ∈ (ℕ?))
BY
{ (BoolCase ⌜init-seg-nat-seq(a**b;n0)⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∃x:ℕ. (↑isl(gamma-neighbourhood(beta;n0) a^(x)))
4. a : finite-nat-seq()
5. ¬↑init-seg-nat-seq(a;n0)
6. b : finite-nat-seq()
7. ↑init-seg-nat-seq(a**b;n0)
⊢ (↑isl(if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta then inl 1 else inl 0 fi ))
⇒ (if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta then inl 1 else inl 0 fi  = (inr ⋅ ) ∈ (ℕ?))

2
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∃x:ℕ. (↑isl(gamma-neighbourhood(beta;n0) a^(x)))
4. a : finite-nat-seq()
5. ¬↑init-seg-nat-seq(a;n0)
6. b : finite-nat-seq()
7. ¬↑init-seg-nat-seq(a**b;n0)
⊢ (↑isl(if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta then inl 1 else inl 0 fi ))
⇒ (if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta then inl 1 else inl 0 fi 
   = if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a**b n0 beta then inl 1 else inl 0 fi 
   ∈ (ℕ?))

---

Latex:

---

Latex:

1.  beta  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  n0  :  finite-nat-seq()
3.  \mforall{}a:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}x:\mBbbN{}.  (\muparrow{}isl(gamma-neighbourhood(beta;n0)  a\^{}(x)))
4.  a  :  finite-nat-seq()
5.  \mneg{}\muparrow{}init-seg-nat-seq(a;n0)
6.  b  :  finite-nat-seq()
\mvdash{}  (\muparrow{}isl(if  TERMOF\{extend-seq1-all-dec:o,  1:l\}  a  n0  beta  then  inl  1  else  inl  0  fi  ))
{}\mRightarrow{}  (if  TERMOF\{extend-seq1-all-dec:o,  1:l\}  a  n0  beta  then  inl  1  else  inl  0  fi 
      =  if  init-seg-nat-seq(a**b;n0)  then  inr  \mcdot{} 
          if  TERMOF\{extend-seq1-all-dec:o,  1:l\}  a**b  n0  beta  then  inl  1
          else  inl  0
          fi  )


By

---

Latex:
(BoolCase  \mkleeneopen{}init-seg-nat-seq(a**b;n0)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index