---

Step * 2 2 2 of Lemma gamma-neighbourhood-prop1


1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∃x:ℕ. (↑isl(gamma-neighbourhood(beta;n0) a^(x)))
4. a : finite-nat-seq()
5. ¬↑init-seg-nat-seq(a;n0)
6. b : finite-nat-seq()
7. ¬↑init-seg-nat-seq(a**b;n0)
⊢ (↑isl(if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta then inl 1 else inl 0 fi ))
⇒ (if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta then inl 1 else inl 0 fi 
   = if TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a**b n0 beta then inl 1 else inl 0 fi 
   ∈ (ℕ?))
BY
{ (GenConclAtAddr [1;1;1;1]
   THEN DVar `v'
   THEN Reduce 0
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN Thin (-1)
   THEN GenConclAtAddr [3;1]
   THEN DVar `v'
   THEN Reduce 0
   THEN Try (CompleteAuto)
   THEN ExRepD
   THEN Assert ⌜False⌝⋅
   THEN Auto) }

1
.....assertion..... 
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∃x:ℕ. (↑isl(gamma-neighbourhood(beta;n0) a^(x)))
4. a : finite-nat-seq()
5. ¬↑init-seg-nat-seq(a;n0)
6. b : finite-nat-seq()
7. ¬↑init-seg-nat-seq(a**b;n0)
8. x1 : ℕ
9. x3 : ↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x1^(1);a)
10. x5 : ¬((beta x1) = 0 ∈ ℤ)
11. x6 : ∀y:ℕx1. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
12. (TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta)
= (inl <x1, x3, x5, x6>)
∈ Dec(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
13. y : ¬(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a**b)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
14. (TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a**b n0 beta)
= (inr y )
∈ Dec(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a**b)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
⊢ False

2
.....assertion..... 
1. beta : ℕ ⟶ ℕ
2. n0 : finite-nat-seq()
3. ∀a:ℕ ⟶ ℕ. ∃x:ℕ. (↑isl(gamma-neighbourhood(beta;n0) a^(x)))
4. a : finite-nat-seq()
5. ¬↑init-seg-nat-seq(a;n0)
6. b : finite-nat-seq()
7. ¬↑init-seg-nat-seq(a**b;n0)
8. y : ¬(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
9. (TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a n0 beta)
= (inr y )
∈ Dec(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
10. x1 : ℕ
11. x3 : ↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x1^(1);a**b)
12. x5 : ¬((beta x1) = 0 ∈ ℤ)
13. x6 : ∀y:ℕx1. ((beta y) = 0 ∈ ℤ)
14. (TERMOF{extend-seq1-all-dec:o, 1:l} a**b n0 beta)
= (inl <x1, x3, x5, x6>)
∈ Dec(∃x:ℕ. ((↑init-seg-nat-seq(n0**λi.x^(1);a**b)) ∧ (¬((beta x) = 0 ∈ ℤ)) ∧ (∀y:ℕx. ((beta y) = 0 ∈ ℤ))))
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  beta  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  n0  :  finite-nat-seq()
3.  \mforall{}a:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}x:\mBbbN{}.  (\muparrow{}isl(gamma-neighbourhood(beta;n0)  a\^{}(x)))
4.  a  :  finite-nat-seq()
5.  \mneg{}\muparrow{}init-seg-nat-seq(a;n0)
6.  b  :  finite-nat-seq()
7.  \mneg{}\muparrow{}init-seg-nat-seq(a**b;n0)
\mvdash{}  (\muparrow{}isl(if  TERMOF\{extend-seq1-all-dec:o,  1:l\}  a  n0  beta  then  inl  1  else  inl  0  fi  ))
{}\mRightarrow{}  (if  TERMOF\{extend-seq1-all-dec:o,  1:l\}  a  n0  beta  then  inl  1  else  inl  0  fi 
      =  if  TERMOF\{extend-seq1-all-dec:o,  1:l\}  a**b  n0  beta  then  inl  1  else  inl  0  fi  )


By

---

Latex:
(GenConclAtAddr  [1;1;1;1]
  THEN  DVar  `v'
  THEN  Reduce  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  GenConclAtAddr  [3;1]
  THEN  DVar  `v'
  THEN  Reduce  0
  THEN  Try  (CompleteAuto)
  THEN  ExRepD
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index