---

Step * of Lemma gen-bar-ind-implies-monotone

(∀P:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
   ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. P[n + 1;s.m@n]) ⇒ P[n;s])) ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. P[m;f])) ⇒ ⇃(P[0;λx.⊥])))
⇒ (∀B,Q:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ. ∀bar:∀s:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;s]). ∀mon:∀n:ℕ. ∀m:ℕn. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[m;s] ⇒ B[n;s]).
    ∀base:∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s]). ∀ind:∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s]).
      ⇃(Q[0;seq-normalize(0;⊥)]))
BY
{ ((UnivCD THENA Auto) THEN (InstHyp [⌜Q⌝] 1⋅ THENA Auto)) }

1
1. ∀P:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. P[n + 1;s.m@n]) ⇒ P[n;s]))
     ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. P[m;f]))
     ⇒ ⇃(P[0;λx.⊥]))
2. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
4. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;s])
5. mon : ∀n:ℕ. ∀m:ℕn. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[m;s] ⇒ B[n;s])
6. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])
7. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
8. f : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])

2
1. ∀P:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. P[n + 1;s.m@n]) ⇒ P[n;s]))
     ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. P[m;f]))
     ⇒ ⇃(P[0;λx.⊥]))
2. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
4. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;s])
5. mon : ∀n:ℕ. ∀m:ℕn. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[m;s] ⇒ B[n;s])
6. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])
7. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
8. ⇃(Q[0;λx.⊥])
⊢ ⇃(Q[0;seq-normalize(0;⊥)])

---

Latex:

---

Latex:
(\mforall{}P:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
      ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  P[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  P[n;s]))
      {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  P[m;f]))
      {}\mRightarrow{}  \00D9(P[0;\mlambda{}x.\mbot{}])))
{}\mRightarrow{}  (\mforall{}B,Q:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}bar:\mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  B[n;s]).  \mforall{}mon:\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\mBbbN{}n.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.
                                                                                                                                                (B[m;s]  {}\mRightarrow{}  B[n;s]).
        \mforall{}base:\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  Q[n;s]).  \mforall{}ind:\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.
                                                                                                                ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s]).
            \00D9(Q[0;seq-normalize(0;\mbot{})]))


By

---

Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}Q\mkleeneclose{}]  1\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index