---

Step * 1 of Lemma gen-bar-ind-implies-monotone


1. ∀P:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. P[n + 1;s.m@n]) ⇒ P[n;s]))
     ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. P[m;f]))
     ⇒ ⇃(P[0;λx.⊥]))
2. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
4. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;s])
5. mon : ∀n:ℕ. ∀m:ℕn. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[m;s] ⇒ B[n;s])
6. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])
7. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
8. f : ℕ ⟶ ℕ
⊢ ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])
BY
{ ((InstHyp [⌜f⌝] (-5)⋅ THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (BLemma `implies-quotient-true` THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (InstConcl [⌜n⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)) }

1
1. ∀P:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
     ((∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. P[n + 1;s.m@n]) ⇒ P[n;s]))
     ⇒ (∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. P[m;f]))
     ⇒ ⇃(P[0;λx.⊥]))
2. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
4. bar : ∀s:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. B[n;s])
5. mon : ∀n:ℕ. ∀m:ℕn. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[m;s] ⇒ B[n;s])
6. base : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ Q[n;s])
7. ind : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
8. f : ℕ ⟶ ℕ
9. n : ℕ
10. B[n;f]
11. m : {n...}
⊢ Q[m;f]

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}P:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
          ((\mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  P[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  P[n;s]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  P[m;f]))
          {}\mRightarrow{}  \00D9(P[0;\mlambda{}x.\mbot{}]))
2.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  bar  :  \mforall{}s:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  B[n;s])
5.  mon  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\mBbbN{}n.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[m;s]  {}\mRightarrow{}  B[n;s])
6.  base  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])
7.  ind  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])
8.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  Q[m;f])


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (BLemma  `implies-quotient-true`  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto))

---

Home Index