---

Step * 1 1 of Lemma monotone-bar-induction1


1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. (↓Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. F : alpha:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
8. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. B[F alpha;alpha]
9. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
10. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))))
11. n : ℕ
12. s : ℕn ⟶ ℕ
13. ↑isl(M n s)
14. i : ℕ
15. (M i (λb.if b <z n then s b else 0 fi )) = (inl (F (λb.if b <z n then s b else 0 fi ))) ∈ (ℕ?)
16. ∀m:ℕ
      ((↑isl(M m (λb.if b <z n then s b else 0 fi )))
      ⇒ ((M m (λb.if b <z n then s b else 0 fi )) = (inl (F (λb.if b <z n then s b else 0 fi ))) ∈ (ℕ?)))
⊢ ↓Q[n;s]
BY
{ TACTIC:(InstHyp [⌜n⌝] (-1)⋅ THENA (Auto THEN NthHypEq(-4) THEN RepeatFor 3 ((EqCD THEN Auto)))) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. (↓Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. F : alpha:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
8. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. B[F alpha;alpha]
9. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
10. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))))
11. n : ℕ
12. s : ℕn ⟶ ℕ
13. ↑isl(M n s)
14. i : ℕ
15. (M i (λb.if b <z n then s b else 0 fi )) = (inl (F (λb.if b <z n then s b else 0 fi ))) ∈ (ℕ?)
16. ∀m:ℕ
      ((↑isl(M m (λb.if b <z n then s b else 0 fi )))
      ⇒ ((M m (λb.if b <z n then s b else 0 fi )) = (inl (F (λb.if b <z n then s b else 0 fi ))) ∈ (ℕ?)))
17. (M n (λb.if b <z n then s b else 0 fi )) = (inl (F (λb.if b <z n then s b else 0 fi ))) ∈ (ℕ?)
⊢ ↓Q[n;s]

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  B[n  +  1;s.m@n]))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n;s]))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  (\mdownarrow{}Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n;s]))
6.  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  B[m;alpha]
7.  F  :  alpha:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
8.  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  B[F  alpha;alpha]
9.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
10.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
            (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  (F  f)))))))
11.  n  :  \mBbbN{}
12.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
13.  \muparrow{}isl(M  n  s)
14.  i  :  \mBbbN{}
15.  (M  i  (\mlambda{}b.if  b  <z  n  then  s  b  else  0  fi  ))  =  (inl  (F  (\mlambda{}b.if  b  <z  n  then  s  b  else  0  fi  )))
16.  \mforall{}m:\mBbbN{}
            ((\muparrow{}isl(M  m  (\mlambda{}b.if  b  <z  n  then  s  b  else  0  fi  )))
            {}\mRightarrow{}  ((M  m  (\mlambda{}b.if  b  <z  n  then  s  b  else  0  fi  ))  =  (inl  (F  (\mlambda{}b.if  b  <z  n  then  s  b  else  0  fi  )))))
\mvdash{}  \mdownarrow{}Q[n;s]


By

---

Latex:
TACTIC:(InstHyp  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}  THENA  (Auto  THEN  NthHypEq(-4)  THEN  RepeatFor  3  ((EqCD  THEN  Auto))))

---

Home Index