---

Step * 2 1 of Lemma monotone-bar-induction1


1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. (↓Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. F : alpha:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
8. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. B[F alpha;alpha]
9. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
10. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))))
11. n : ℕ
12. s : ℕn ⟶ ℕ
13. ∀t:ℕ. (↓Q[n + 1;s++t])
14. m : ℕ
⊢ ↓Q[n + 1;s.m@n]
BY
{ TACTIC:(InstHyp [⌜m⌝] (-2)⋅ THEN Auto) }

1
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (∀m:ℕ. B[n + 1;s.m@n]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ (↓Q[n;s]))
5. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. (↓Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ (↓Q[n;s]))
6. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ∃m:ℕ. B[m;alpha]
7. F : alpha:(ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
8. ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. B[F alpha;alpha]
9. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
10. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))))
11. n : ℕ
12. s : ℕn ⟶ ℕ
13. ∀t:ℕ. (↓Q[n + 1;s++t])
14. m : ℕ
15. Q[n + 1;s++m]
⊢ ↓Q[n + 1;s.m@n]

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  B[n  +  1;s.m@n]))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n;s]))
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  (\mdownarrow{}Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}Q[n;s]))
6.  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}m:\mBbbN{}.  B[m;alpha]
7.  F  :  alpha:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
8.  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  B[F  alpha;alpha]
9.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
10.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
            (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  (F  f)))))))
11.  n  :  \mBbbN{}
12.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
13.  \mforall{}t:\mBbbN{}.  (\mdownarrow{}Q[n  +  1;s++t])
14.  m  :  \mBbbN{}
\mvdash{}  \mdownarrow{}Q[n  +  1;s.m@n]


By

---

Latex:
TACTIC:(InstHyp  [\mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index