---

Step * 1 1 1 1 1 1 2 1 1 of Lemma monotone-bar-induction5

.....assertion..... 
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
5. bar : ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. (B[n;alpha] ∧ (∀m:{n...}. (B[m;alpha] ⇒ B[m + 1;alpha]))))
6. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
7. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((B k f) ∧ (∀m:{k...}. (B[m;f] ⇒ B[m + 1;f])))
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
8. n : ℕ
9. s : ℕn ⟶ ℕ
10. ↑isl(M n s)
11. i : ℕ
12. k : ℕi
13. B k ext2Baire(n;s;0)
14. ∀m:{k...}. (B[m;ext2Baire(n;s;0)] ⇒ B[m + 1;ext2Baire(n;s;0)])
15. (M i ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
16. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m ext2Baire(n;s;0))) ⇒ ((M m ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)))
17. (M n ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
18. k < n
19. B[k;s]
⊢ B[n;s]
BY
{ (Assert ⌜∀d:ℕ. (((k + d) ≤ n) ⇒ B[k + d;s])⌝⋅ THENM (With ⌜n - k⌝ (D (-1))⋅ THEN Auto THEN D -1 THEN Auto)) }

1
.....assertion..... 
1. B : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
3. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  (B[n;s] ⇒ ⇃(Q[n;s]))
4. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. ⇃(Q[n + 1;s.m@n])) ⇒ ⇃(Q[n;s]))
5. bar : ∀alpha:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. (B[n;alpha] ∧ (∀m:{n...}. (B[m;alpha] ⇒ B[m + 1;alpha]))))
6. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
7. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((B k f) ∧ (∀m:{k...}. (B[m;f] ⇒ B[m + 1;f])))
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
8. n : ℕ
9. s : ℕn ⟶ ℕ
10. ↑isl(M n s)
11. i : ℕ
12. k : ℕi
13. B k ext2Baire(n;s;0)
14. ∀m:{k...}. (B[m;ext2Baire(n;s;0)] ⇒ B[m + 1;ext2Baire(n;s;0)])
15. (M i ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
16. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m ext2Baire(n;s;0))) ⇒ ((M m ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)))
17. (M n ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
18. k < n
19. B[k;s]
⊢ ∀d:ℕ. (((k + d) ≤ n) ⇒ B[k + d;s])

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  B  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    (B[n;s]  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
4.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  \00D9(Q[n  +  1;s.m@n]))  {}\mRightarrow{}  \00D9(Q[n;s]))
5.  bar  :  \mforall{}alpha:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  (B[n;alpha]  \mwedge{}  (\mforall{}m:\{n...\}.  (B[m;alpha]  {}\mRightarrow{}  B[m  +  1;alpha]))))
6.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
7.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}n:\mBbbN{}
            \mexists{}k:\mBbbN{}n
              (((B  k  f)  \mwedge{}  (\mforall{}m:\{k...\}.  (B[m;f]  {}\mRightarrow{}  B[m  +  1;f])))
              \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  k))
              \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  k)))))
8.  n  :  \mBbbN{}
9.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
10.  \muparrow{}isl(M  n  s)
11.  i  :  \mBbbN{}
12.  k  :  \mBbbN{}i
13.  B  k  ext2Baire(n;s;0)
14.  \mforall{}m:\{k...\}.  (B[m;ext2Baire(n;s;0)]  {}\mRightarrow{}  B[m  +  1;ext2Baire(n;s;0)])
15.  (M  i  ext2Baire(n;s;0))  =  (inl  k)
16.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  ext2Baire(n;s;0)))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  ext2Baire(n;s;0))  =  (inl  k)))
17.  (M  n  ext2Baire(n;s;0))  =  (inl  k)
18.  k  <  n
19.  B[k;s]
\mvdash{}  B[n;s]


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}d:\mBbbN{}.  (((k  +  d)  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  B[k  +  d;s])\mkleeneclose{}\mcdot{}
THENM  (With  \mkleeneopen{}n  -  k\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  D  -1  THEN  Auto)
)

---

Home Index