---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma monotone-bar-induction8-2

.....assertion..... 
1. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) f k)
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ ℕ
8. ↑isl(M n s)
9. i : ℕ
10. k : ℕi
11. (λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) ext2Baire(n;s;0) k
12. (M i ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
13. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m ext2Baire(n;s;0))) ⇒ ((M m ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)))
14. (M n ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
⊢ k < n
BY
{ (StrengthenEquation (-1) THEN ApFunToHypEquands `Z' ⌜outl(Z)⌝ ⌜ℕn⌝ (-1)⋅) }

1
.....fun wf..... 
1. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) f k)
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ ℕ
8. ↑isl(M n s)
9. i : ℕ
10. k : ℕi
11. (λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) ext2Baire(n;s;0) k
12. (M i ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
13. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m ext2Baire(n;s;0))) ⇒ ((M m ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)))
14. (M n ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
15. (M n ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ {z:ℕ?| (z = (M n ext2Baire(n;s;0)) ∈ (ℕ?)) ∧ (z = (inl k) ∈ (ℕ?))} 
16. Z : {z:ℕ?| (z = (M n ext2Baire(n;s;0)) ∈ (ℕ?)) ∧ (z = (inl k) ∈ (ℕ?))} 
⊢ outl(Z) = outl(Z) ∈ ℕn

2
1. Q : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ ℙ
2. ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  ((∀m:ℕ. Q[n + 1;s.m@n]) ⇒ Q[n;s])
3. bar : ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ⇃(∃n:ℕ. ∀m:{n...}. Q[m;f])
4. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
5. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ
      ∃k:ℕn
       (((λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) f k)
       ∧ ((M n f) = (inl k) ∈ (ℕ?))
       ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl k) ∈ (ℕ?)))))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ ℕ
8. ↑isl(M n s)
9. i : ℕ
10. k : ℕi
11. (λf,n. ∀m:{n...}. Q[m;f]) ext2Baire(n;s;0) k
12. (M i ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
13. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m ext2Baire(n;s;0))) ⇒ ((M m ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)))
14. (M n ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ (ℕ?)
15. (M n ext2Baire(n;s;0)) = (inl k) ∈ {z:ℕ?| (z = (M n ext2Baire(n;s;0)) ∈ (ℕ?)) ∧ (z = (inl k) ∈ (ℕ?))} 
16. outl(M n ext2Baire(n;s;0)) = outl(inl k) ∈ ℕn
⊢ k < n

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  Q  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    ((\mforall{}m:\mBbbN{}.  Q[n  +  1;s.m@n])  {}\mRightarrow{}  Q[n;s])
3.  bar  :  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \00D9(\mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}m:\{n...\}.  Q[m;f])
4.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
5.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}n:\mBbbN{}
            \mexists{}k:\mBbbN{}n
              (((\mlambda{}f,n.  \mforall{}m:\{n...\}.  Q[m;f])  f  k)
              \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  k))
              \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  k)))))
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  s  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
8.  \muparrow{}isl(M  n  s)
9.  i  :  \mBbbN{}
10.  k  :  \mBbbN{}i
11.  (\mlambda{}f,n.  \mforall{}m:\{n...\}.  Q[m;f])  ext2Baire(n;s;0)  k
12.  (M  i  ext2Baire(n;s;0))  =  (inl  k)
13.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  ext2Baire(n;s;0)))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  ext2Baire(n;s;0))  =  (inl  k)))
14.  (M  n  ext2Baire(n;s;0))  =  (inl  k)
\mvdash{}  k  <  n


By

---

Latex:
(StrengthenEquation  (-1)  THEN  ApFunToHypEquands  `Z'  \mkleeneopen{}outl(Z)\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}\mBbbN{}n\mkleeneclose{}  (-1)\mcdot{})

---

Home Index