---

Step * 1 2 1 2 1 1 1 2 1 of Lemma strong-continuity-implies3


1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
5. f : ℕ ⟶ ℕ
6. n : ℕ
7. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
8. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
9. y : (∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1)) ⟶ False
10. (d (imax(n;F f) + 1) f) = (inr y ) ∈ Dec(∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1))
⊢ ∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1)
BY
{ TACTIC:(With ⌜n⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) }

1
1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
5. f : ℕ ⟶ ℕ
6. n : ℤ
7. 0 ≤ n
8. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
9. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
10. y : (∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1)) ⟶ False
11. (d (imax(n;F f) + 1) f) = (inr y ) ∈ Dec(∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1))
⊢ n < imax(n;F f) + 1

2
1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕ?)
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ. (↓∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ)))))
4. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ ℕ.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
5. f : ℕ ⟶ ℕ
6. n : ℕ
7. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
8. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
9. y : (∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1)) ⟶ False
10. (d (imax(n;F f) + 1) f) = (inr y ) ∈ Dec(∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1))
11. ↑isl(M n f)
⊢ outl(M n f) < imax(n;F f) + 1

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
3.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  (\mdownarrow{}\mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n)))))
4.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  ((\muparrow{}isl(M  i  s))  \mwedge{}  outl(M  i  s)  <  n))
5.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
6.  n  :  \mBbbN{}
7.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))
8.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))
9.  y  :  (\mexists{}i:\mBbbN{}imax(n;F  f)  +  1.  ((\muparrow{}isl(M  i  f))  \mwedge{}  outl(M  i  f)  <  imax(n;F  f)  +  1))  {}\mrightarrow{}  False
10.  (d  (imax(n;F  f)  +  1)  f)  =  (inr  y  )
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}imax(n;F  f)  +  1.  ((\muparrow{}isl(M  i  f))  \mwedge{}  outl(M  i  f)  <  imax(n;F  f)  +  1)


By

---

Latex:
TACTIC:(With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index