---

Step * 1 1 of Lemma strong-continuity2-implies-weak-skolem-cantor-nat


1. F : (ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ
2. ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
      ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
⊢ ⇃(∃M:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
BY
{ Assert ⌜(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
            ∀f:ℕ ⟶ 𝔹
              ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
          ⇒ (∃M:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. F : (ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ
2. ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
      ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
⊢ (∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
    ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
⇒ (∃M:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))

2
1. F : (ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ
2. ⇃(∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
      ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
3. (∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ 𝔹) ⟶ (ℕ?)
     ∀f:ℕ ⟶ 𝔹. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))))
⇒ (∃M:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))
⊢ ⇃(∃M:(ℕ ⟶ 𝔹) ⟶ ℕ. ∀f,g:ℕ ⟶ 𝔹.  ((f = g ∈ (ℕM f ⟶ 𝔹)) ⇒ ((F f) = (F g) ∈ ℕ)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
2.  \00D9(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
            \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
                ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f))))
\mvdash{}  \00D9(\mexists{}M:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(\mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
                    \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
                        ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f))))
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}M:(\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}f,g:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.    ((f  =  g)  {}\mRightarrow{}  ((F  f)  =  (F  g))))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index