---

Step * 1 of Lemma strong-continuity2-no-inner-squash-unique-bound


1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ@i
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)@i
3. ∀f:ℕ ⟶ ℕ
     ∃n:ℕ. (F f < n ∧ ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))))
⊢ ∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)
   ∀f:ℕ ⟶ ℕ. ∃n:ℕ. (F f < n ∧ ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
BY
{ (InstConcl [⌜λn,f. case M n f of inl(b) => strong-continuity-test-bound(M;n;f;b) | inr(x) => inr Ax ⌝]⋅
   THEN Try (CpltAuto)
   THEN Reduce 0
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN (InstHyp [⌜f⌝] (-2)⋅ THENA Auto)
   THEN Thin (-3)
   THEN ExRepD) }

1
1. F : (ℕ ⟶ ℕ) ⟶ ℕ@i
2. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ ℕ) ⟶ (ℕn?)@i
3. f : ℕ ⟶ ℕ@i
4. n : ℕ
5. F f < n
6. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
7. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))
⊢ ∃n:ℕ
   (F f < n
   ∧ (case M n f of inl(b) => strong-continuity-test-bound(M;n;f;b) | inr(x) => inr Ax  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
   ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(case M m f of inl(b) => strong-continuity-test-bound(M;m;f;b) | inr(x) => inr Ax )) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
2.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)@i
3.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
          \mexists{}n:\mBbbN{}.  (F  f  <  n  \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  (F  f))))))
\mvdash{}  \mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
      \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (F  f  <  n  \mwedge{}  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))


By

---

Latex:
(InstConcl  [\mkleeneopen{}\mlambda{}n,f.  case  M  n  f  of  inl(b)  =>  strong-continuity-test-bound(M;n;f;b)  |  inr(x)  =>  inr  Ax  \000C\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Try  (CpltAuto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index