---

Step * 1 of Lemma strong-continuity2_biject_retract


1. [T] : Type
2. [S] : Type
3. [U] : Type
4. r : ℕ ⟶ U@i
5. U ⊆r ℕ
6. ∀x:U. ((r x) = x ∈ U)
7. g : S ⟶ U@i
8. Bij(S;U;g)
9. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ S@i
10. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)@i
11. ∀f:ℕ ⟶ T
      ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
12. h : U ⟶ S
13. (∀b:U. ((g (h b)) = b ∈ U)) ∧ (∀a:S. ((h (g a)) = a ∈ S))
⊢ ∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (S?)
   ∀f:ℕ ⟶ T. ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (F f)) ∈ (S?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (S?) supposing ↑isl(M n f)))
BY
{ ((D 0 With ⌜λn,f. case M n f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x ⌝  THENW Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN ParallelOp -3) }

1
1. [T] : Type
2. [S] : Type
3. [U] : Type
4. r : ℕ ⟶ U@i
5. U ⊆r ℕ
6. ∀x:U. ((r x) = x ∈ U)
7. g : S ⟶ U@i
8. Bij(S;U;g)
9. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ S@i
10. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)@i
11. ∀f:ℕ ⟶ T
      ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
12. h : U ⟶ S
13. (∀b:U. ((g (h b)) = b ∈ U)) ∧ (∀a:S. ((h (g a)) = a ∈ S))
14. f : ℕ ⟶ T
15. (∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))
⊢ (∃n:ℕ. (case M n f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x  = (inl (F f)) ∈ (S?)))
∧ (∀n:ℕ
     case M n f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x  = (inl (F f)) ∈ (S?) 
     supposing ↑isl(case M n f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x ))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [S]  :  Type
3.  [U]  :  Type
4.  r  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  U@i
5.  U  \msubseteq{}r  \mBbbN{}
6.  \mforall{}x:U.  ((r  x)  =  x)
7.  g  :  S  {}\mrightarrow{}  U@i
8.  Bij(S;U;g)
9.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  S@i
10.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)@i
11.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
            ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (g  (F  f)))))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (g  (F  f)))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f)))
12.  h  :  U  {}\mrightarrow{}  S
13.  (\mforall{}b:U.  ((g  (h  b))  =  b))  \mwedge{}  (\mforall{}a:S.  ((h  (g  a))  =  a))
\mvdash{}  \mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (S?)
      \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
          ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (F  f))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f)))


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}n,f.  case  M  n  f  of  inl(m)  =>  inl  (h  (r  m))  |  inr(x)  =>  inr  x  \mkleeneclose{}    THENW  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  ParallelOp  -3)

---

Home Index