---

Step * 1 1 of Lemma strong-continuity2_biject_retract


1. [T] : Type
2. [S] : Type
3. [U] : Type
4. r : ℕ ⟶ U@i
5. U ⊆r ℕ
6. ∀x:U. ((r x) = x ∈ U)
7. g : S ⟶ U@i
8. Bij(S;U;g)
9. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ S@i
10. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)@i
11. ∀f:ℕ ⟶ T
      ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
12. h : U ⟶ S
13. (∀b:U. ((g (h b)) = b ∈ U)) ∧ (∀a:S. ((h (g a)) = a ∈ S))
14. f : ℕ ⟶ T
15. (∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f))
⊢ (∃n:ℕ. (case M n f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x  = (inl (F f)) ∈ (S?)))
∧ (∀n:ℕ
     case M n f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x  = (inl (F f)) ∈ (S?) 
     supposing ↑isl(case M n f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x ))
BY
{ (((RenameVar `ea' (-1) THEN UseWitness ⌜<<fst(fst(ea)), Ax>, λn.Ax>⌝⋅) THEN D -1 THEN D -2 THEN Reduce 0)
   THEN RepeatFor 2 (MemCD)
   THEN Auto) }

1
1. T : Type
2. S : Type
3. U : Type
4. r : ℕ ⟶ U@i
5. U ⊆r ℕ
6. ∀x:U. ((r x) = x ∈ U)
7. g : S ⟶ U@i
8. Bij(S;U;g)
9. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ S@i
10. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)@i
11. ∀f:ℕ ⟶ T
      ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
12. h : U ⟶ S
13. ∀b:U. ((g (h b)) = b ∈ U)
14. ∀a:S. ((h (g a)) = a ∈ S)
15. f : ℕ ⟶ T
16. n : ℕ
17. e3 : (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?)
18. e2 : ∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)
⊢ case M n f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x  = (inl (F f)) ∈ (S?)

2
1. T : Type
2. S : Type
3. U : Type
4. r : ℕ ⟶ U@i
5. U ⊆r ℕ
6. ∀x:U. ((r x) = x ∈ U)
7. g : S ⟶ U@i
8. Bij(S;U;g)
9. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ S@i
10. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)@i
11. ∀f:ℕ ⟶ T
      ((∃n:ℕ. ((M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?))) ∧ (∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)))
12. h : U ⟶ S
13. ∀b:U. ((g (h b)) = b ∈ U)
14. ∀a:S. ((h (g a)) = a ∈ S)
15. f : ℕ ⟶ T
16. n : ℕ
17. e3 : (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?)
18. e2 : ∀n:ℕ. (M n f) = (inl (g (F f))) ∈ (ℕ?) supposing ↑isl(M n f)
19. n1 : ℕ
20. ↑isl(case M n1 f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x )
⊢ case M n1 f of inl(m) => inl (h (r m)) | inr(x) => inr x  = (inl (F f)) ∈ (S?)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  [S]  :  Type
3.  [U]  :  Type
4.  r  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  U@i
5.  U  \msubseteq{}r  \mBbbN{}
6.  \mforall{}x:U.  ((r  x)  =  x)
7.  g  :  S  {}\mrightarrow{}  U@i
8.  Bij(S;U;g)
9.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  S@i
10.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)@i
11.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
            ((\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (g  (F  f)))))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (g  (F  f)))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f)))
12.  h  :  U  {}\mrightarrow{}  S
13.  (\mforall{}b:U.  ((g  (h  b))  =  b))  \mwedge{}  (\mforall{}a:S.  ((h  (g  a))  =  a))
14.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
15.  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  ((M  n  f)  =  (inl  (g  (F  f)))))  \mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (M  n  f)  =  (inl  (g  (F  f)))  supposing  \muparrow{}isl(M  n  f))
\mvdash{}  (\mexists{}n:\mBbbN{}.  (case  M  n  f  of  inl(m)  =>  inl  (h  (r  m))  |  inr(x)  =>  inr  x    =  (inl  (F  f))))
\mwedge{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}
          case  M  n  f  of  inl(m)  =>  inl  (h  (r  m))  |  inr(x)  =>  inr  x    =  (inl  (F  f)) 
          supposing  \muparrow{}isl(case  M  n  f  of  inl(m)  =>  inl  (h  (r  m))  |  inr(x)  =>  inr  x  ))


By

---

Latex:
(((RenameVar  `ea'  (-1)  THEN  UseWitness  \mkleeneopen{}<<fst(fst(ea)),  Ax>,  \mlambda{}n.Ax>\mkleeneclose{}\mcdot{})
    THEN  D  -1
    THEN  D  -2
    THEN  Reduce  0)
  THEN  RepeatFor  2  (MemCD)
  THEN  Auto)

---

Home Index