---

Step * 1 1 of Lemma strong-continuity3-implies-4


1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
⊢ ∃M:n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕn?)
   ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ ((M m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))))
BY
{ (With ⌜λn,s. case d n s of inl(t) => M (fst(t)) s | inr(x) => inr ⋅ ⌝ (D 0)⋅ THENW Auto) }

1
1. T : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
6. n : ℕ
7. s : ℕn ⟶ T
⊢ case d n s of inl(t) => M (fst(t)) s | inr(x) => inr ⋅  ∈ ℕn?

2
1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
⊢ ∀f:ℕ ⟶ T
    ∃n:ℕ
     ((((λn,s. case d n s of inl(t) => M (fst(t)) s | inr(x) => inr ⋅ ) n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
     ∧ (∀m:ℕ
          ((↑isl((λn,s. case d n s of inl(t) => M (fst(t)) s | inr(x) => inr ⋅ ) m f))
          ⇒ (((λn,s. case d n s of inl(t) => M (fst(t)) s | inr(x) => inr ⋅ ) m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
4.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))
5.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  ((\muparrow{}isl(M  i  s))  \mwedge{}  outl(M  i  s)  <  n))
\mvdash{}  \mexists{}M:n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n?)
      \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  ((M  m  f)  =  (inl  (F  f))))))


By

---

Latex:
(With  \mkleeneopen{}\mlambda{}n,s.  case  d  n  s  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  s  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  \mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THENW  Auto)

---

Home Index