---

Step * 1 1 2 of Lemma strong-continuity3-implies-4


1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
⊢ ∀f:ℕ ⟶ T
    ∃n:ℕ
     ((((λn,s. case d n s of inl(t) => M (fst(t)) s | inr(x) => inr ⋅ ) n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
     ∧ (∀m:ℕ
          ((↑isl((λn,s. case d n s of inl(t) => M (fst(t)) s | inr(x) => inr ⋅ ) m f))
          ⇒ (((λn,s. case d n s of inl(t) => M (fst(t)) s | inr(x) => inr ⋅ ) m f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))))
BY
{ (Reduce 0 THEN ParallelOp -2 THEN ExRepD) }

1
1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
6. f : ℕ ⟶ T
7. n : ℕ
8. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
9. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
⊢ ∃n:ℕ
   ((case d n f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
   ∧ (∀m:ℕ
        ((↑isl(case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅ ))
        ⇒ (case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
4.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))
5.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  ((\muparrow{}isl(M  i  s))  \mwedge{}  outl(M  i  s)  <  n))
\mvdash{}  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
        \mexists{}n:\mBbbN{}
          ((((\mlambda{}n,s.  case  d  n  s  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  s  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  )  n  f)  =  (inl  (F  f)))
          \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}
                    ((\muparrow{}isl((\mlambda{}n,s.  case  d  n  s  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  s  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  )  m  f))
                    {}\mRightarrow{}  (((\mlambda{}n,s.  case  d  n  s  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  s  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  )  m  f)  =  (inl  (F  f)))))\000C)


By

---

Latex:
(Reduce  0  THEN  ParallelOp  -2  THEN  ExRepD)

---

Home Index