---

Step * 1 1 2 1 of Lemma strong-continuity3-implies-4


1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
6. f : ℕ ⟶ T
7. n : ℕ
8. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
9. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
⊢ ∃n:ℕ
   ((case d n f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
   ∧ (∀m:ℕ
        ((↑isl(case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅ ))
        ⇒ (case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)))))
BY
{ ((With ⌜imax(n;F f) + 1⌝ (D 0)⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConclTerm ⌜d (imax(n;F f) + 1) f⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((D -2 THEN Reduce 0))) }

1
1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
6. f : ℕ ⟶ T
7. n : ℕ
8. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
9. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
10. i : ℕimax(n;F f) + 1
11. x1 : (↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1
12. (d (imax(n;F f) + 1) f) = (inl <i, x1>) ∈ Dec(∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1))
⊢ ((M i f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))
∧ (∀m:ℕ
     ((↑isl(case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅ ))
     ⇒ (case d m f of inl(t) => M (fst(t)) f | inr(x) => inr ⋅  = (inl (F f)) ∈ (ℕ?))))

2
1. [T] : Type
2. F : (ℕ ⟶ T) ⟶ ℕ
3. M : n:ℕ ⟶ (ℕn ⟶ T) ⟶ (ℕ?)
4. ∀f:ℕ ⟶ T. ∃n:ℕ. (((M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)) ∧ (∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))))
5. d : ∀n:ℕ. ∀s:ℕn ⟶ T.  Dec(∃i:ℕn. ((↑isl(M i s)) ∧ outl(M i s) < n))
6. f : ℕ ⟶ T
7. n : ℕ
8. (M n f) = (inl (F f)) ∈ (ℕ?)
9. ∀m:ℕ. ((↑isl(M m f)) ⇒ (m = n ∈ ℕ))
10. y : (∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1)) ⟶ False
11. (d (imax(n;F f) + 1) f) = (inr y ) ∈ Dec(∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1))
⊢ ∃i:ℕimax(n;F f) + 1. ((↑isl(M i f)) ∧ outl(M i f) < imax(n;F f) + 1)

---

Latex:

---

Latex:

1.  [T]  :  Type
2.  F  :  (\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
3.  M  :  n:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T)  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}?)
4.  \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  (((M  n  f)  =  (inl  (F  f)))  \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))))
5.  d  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}s:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  T.    Dec(\mexists{}i:\mBbbN{}n.  ((\muparrow{}isl(M  i  s))  \mwedge{}  outl(M  i  s)  <  n))
6.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  T
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  (M  n  f)  =  (inl  (F  f))
9.  \mforall{}m:\mBbbN{}.  ((\muparrow{}isl(M  m  f))  {}\mRightarrow{}  (m  =  n))
\mvdash{}  \mexists{}n:\mBbbN{}
      ((case  d  n  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}    =  (inl  (F  f)))
      \mwedge{}  (\mforall{}m:\mBbbN{}
                ((\muparrow{}isl(case  d  m  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}  ))
                {}\mRightarrow{}  (case  d  m  f  of  inl(t)  =>  M  (fst(t))  f  |  inr(x)  =>  inr  \mcdot{}    =  (inl  (F  f))))))


By

---

Latex:
((With  \mkleeneopen{}imax(n;F  f)  +  1\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}d  (imax(n;F  f)  +  1)  f\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((D  -2  THEN  Reduce  0)))

---

Home Index