---

Step * 1 2 of Lemma unbounded-decidable-nset-infinite


1. K : Type
2. K ⊆r ℕ
3. ∀l:ℕ. ((l ∈ K) ∨ (¬(l ∈ K)))
4. ∀B:ℕ. ∃k:K. B < k
5. d : ℕ ⟶ 𝔹
6. ∀l:ℕ. (l ∈ K ⇐⇒ ↑(d l))
7. λk.||filter(d;upto(k))|| ∈ K ⟶ ℕ
8. ∀n:ℤ. ∃k:K. (n < k ∧ (∀j:ℕ. (n < j ⇒ (j ∈ K) ⇒ (k ≤ j))))
⊢ Surj(K;ℕ;λk.||filter(d;upto(k))||)
BY
{ ((D 0 THENA Auto) THEN NatInd (-1) THEN Reduce 0) }

1
1. K : Type
2. K ⊆r ℕ
3. ∀l:ℕ. ((l ∈ K) ∨ (¬(l ∈ K)))
4. ∀B:ℕ. ∃k:K. B < k
5. d : ℕ ⟶ 𝔹
6. ∀l:ℕ. (l ∈ K ⇐⇒ ↑(d l))
7. λk.||filter(d;upto(k))|| ∈ K ⟶ ℕ
8. ∀n:ℤ. ∃k:K. (n < k ∧ (∀j:ℕ. (n < j ⇒ (j ∈ K) ⇒ (k ≤ j))))
⊢ ∃a:K. (||filter(d;upto(a))|| = 0 ∈ ℕ)

2
1. K : Type
2. K ⊆r ℕ
3. ∀l:ℕ. ((l ∈ K) ∨ (¬(l ∈ K)))
4. ∀B:ℕ. ∃k:K. B < k
5. d : ℕ ⟶ 𝔹
6. ∀l:ℕ. (l ∈ K ⇐⇒ ↑(d l))
7. λk.||filter(d;upto(k))|| ∈ K ⟶ ℕ
8. ∀n:ℤ. ∃k:K. (n < k ∧ (∀j:ℕ. (n < j ⇒ (j ∈ K) ⇒ (k ≤ j))))
9. b : ℤ
10. [%8] : 0 < b
11. ∃a:K. (((λk.||filter(d;upto(k))||) a) = (b - 1) ∈ ℕ)
⊢ ∃a:K. (||filter(d;upto(a))|| = b ∈ ℕ)

---

Latex:

---

Latex:

1.  K  :  Type
2.  K  \msubseteq{}r  \mBbbN{}
3.  \mforall{}l:\mBbbN{}.  ((l  \mmember{}  K)  \mvee{}  (\mneg{}(l  \mmember{}  K)))
4.  \mforall{}B:\mBbbN{}.  \mexists{}k:K.  B  <  k
5.  d  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
6.  \mforall{}l:\mBbbN{}.  (l  \mmember{}  K  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \muparrow{}(d  l))
7.  \mlambda{}k.||filter(d;upto(k))||  \mmember{}  K  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
8.  \mforall{}n:\mBbbZ{}.  \mexists{}k:K.  (n  <  k  \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}.  (n  <  j  {}\mRightarrow{}  (j  \mmember{}  K)  {}\mRightarrow{}  (k  \mleq{}  j))))
\mvdash{}  Surj(K;\mBbbN{};\mlambda{}k.||filter(d;upto(k))||)


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)  THEN  NatInd  (-1)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index